は 以上の整数とする。 から までの番号が書かれた 枚の札が袋に入っている。ただし，同じ番号が書かれた札はないとする。この袋から 枚の札を同時に取り出し，一番大きな番号を とする。 の期待値を求めよ。
枚の取り出し方は 通りあり、どの組も同様に確からしい。 枚のうち最大の番号は 以上 以下で、 のとりうる値は から までの整数です。
となるのは、 の札が入っていて、残りの 枚が から までの札から選ばれるときです。その選び方は 通りで、 となる。
なら、 から までの は 、、、、、 です。足すと で、どの取り出し方もちょうど 回ずつ数えている。
期待値は です。 を入れると、 と書ける。
とおきます。 と は を共通にもつので、 となる。
から まで足すと、隣り合う項が打ち消し合って だけが残ります。 だから、 です。
を入れると、 です。 が約分で消え、 となる。
では 枚すべてを取り出すので で、式の値も です。 では 、 で、 が と一致する。
取り出した 枚の番号を小さい順に 、、 とし、両端に と を置きます。 つの間隔 、、、 はどれも 以上の整数で、和はつねに になる。
逆に、和が になる 以上の整数を つ並べれば、 枚の組が つ決まります。並べる順をいれかえても別の組が つ決まるだけなので、 番目の間隔が になる組と、 番目の間隔が になる組は同じ数だけある。 番目と 番目についても同じです。
つの間隔の期待値は等しく、和が だから、どれも です。 ははじめの つの間隔の和で、その期待値は になり、前の節の計算と合う。