実数 x に対して f(x) = e^{-x}\cos x とする。ただし，e は自然対数の底である。
(1) 0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2} のとき，不等式 1-x \leqq f(x) \leqq 1 が成り立つことを示せ。
(2) 0 < a \leqq \dfrac{\pi}{2} をみたす実数 a に対して，I(a) = \displaystyle\int_0^a \dfrac{(x+a)f(x)}{x^2+a^2}dx とするとき，\displaystyle\lim_{a \to +0} I(a) を求めよ。
上の側は難しくありません。0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2} では 0 < e^{-x} \leqq 1 かつ 0 \leqq \cos x \leqq 1 ですから、かけ合わせて 0 \leqq f(x) \leqq 1 です。
下の側は e^{-x}\cos x \geqq 1-x です。このままでは指数と三角と 1 次式が混ざっています。両辺に正の数 e^x を掛けて \cos x \geqq (1-x)e^x に直すと、左辺が三角だけになります。
k(x) = \cos x - (1-x)e^x とおくと k(0) = 1-1 = 0 です。積の微分から \{(1-x)e^x\}' = -e^x + (1-x)e^x = -xe^x ですから、k'(x) = -\sin x + xe^x となります。
x \geqq 0 では e^x \geqq 1 より xe^x \geqq x で、さらに x \geqq \sin x です。よって k'(x) \geqq 0 となり、k(0) = 0 と合わせて k(x) \geqq 0、つまり 1-x \leqq f(x) です。じつは \dfrac{\pi}{2} に限らず x \geqq 0 の全体で成り立ちます。
I(a) の中身は、f(x) に \dfrac{x+a}{x^2+a^2} を掛けたものです。0 \leqq x \leqq a では分子も分母も正ですから、この重みは正です。
正の数を掛けても不等号の向きは変わりません。(1) の 1-x \leqq f(x) \leqq 1 に重みを掛けて、\dfrac{(x+a)(1-x)}{x^2+a^2} \leqq \dfrac{(x+a)f(x)}{x^2+a^2} \leqq \dfrac{x+a}{x^2+a^2} となります。
0 < a \leqq \dfrac{\pi}{2} なので、積分する区間 [0,\ a] は (1) が使える範囲にすっぽり入っています。そのまま 0 から a まで積分できます。
こうして \displaystyle\int_0^a \dfrac{(x+a)(1-x)}{x^2+a^2}dx \leqq I(a) \leqq \displaystyle\int_0^a \dfrac{x+a}{x^2+a^2}dx が出ます。右端をまず計算します。
J(a) = \displaystyle\int_0^a \dfrac{x+a}{x^2+a^2}dx を、x の項と a の項に分けます。どちらも見慣れた形になります。
前半は \displaystyle\int_0^a \dfrac{x}{x^2+a^2}dx = \left[\dfrac{1}{2}\log(x^2+a^2)\right]_0^a = \dfrac{1}{2}\log\dfrac{2a^2}{a^2} = \dfrac{\log 2}{2} です。a^2 が約分されて消えます。
後半は x = a\tan\theta とおきます。dx = \dfrac{a}{\cos^2\theta}d\theta、x^2+a^2 = \dfrac{a^2}{\cos^2\theta} で、x が 0 から a なら \theta は 0 から \dfrac{\pi}{4} です。a\displaystyle\int_0^a \dfrac{dx}{x^2+a^2} = a\displaystyle\int_0^{\pi/4} \dfrac{d\theta}{a} = \dfrac{\pi}{4} となります。
どちらからも a が消えました。J(a) = \dfrac{\log 2}{2} + \dfrac{\pi}{4} で、a をどう動かしても値は変わりません。上からの押さえがすでに定数だということです。
左端は \displaystyle\int_0^a \dfrac{(x+a)(1-x)}{x^2+a^2}dx = J(a) - \displaystyle\int_0^a \dfrac{x(x+a)}{x^2+a^2}dx と書けます。引かれるほうを評価します。
0 \leqq x \leqq a では分子が x^2+ax \leqq 2a^2、分母が x^2+a^2 \geqq a^2 ですから、この分数は 0 以上 2 以下です。長さ a の区間で積分するので、値は 0 以上 2a 以下になります。
よって J(a) - 2a \leqq I(a) \leqq J(a) です。a \to +0 とすると両端がどちらも J(a) すなわち \dfrac{\log 2}{2} + \dfrac{\pi}{4} に近づきます。
はさみうちの原理から \displaystyle\lim_{a \to +0} I(a) = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\log 2}{2} です。およそ 1.132 になります。区間が縮むと f(x) が f(0) = 1 に近づき、重みだけの積分に化ける、というのが起きていることです。