実数 に対して とする。ただし， は自然対数の底である。
(1) のとき，不等式 が成り立つことを示せ。
(2) をみたす実数 に対して， とするとき， を求めよ。
上の側は難しくありません。 では かつ ですから、かけ合わせて です。
下の側は です。このままでは指数と三角と 次式が混ざっています。両辺に正の数 を掛けて に直すと、左辺が三角だけになります。
とおくと です。積の微分から ですから、 となります。
では より で、さらに です。よって となり、 と合わせて 、つまり です。じつは に限らず の全体で成り立ちます。
の中身は、 に を掛けたものです。 では分子も分母も正ですから、この重みは正です。
正の数を掛けても不等号の向きは変わりません。(1) の に重みを掛けて、 となります。
なので、積分する区間 は (1) が使える範囲にすっぽり入っています。そのまま から まで積分できます。
こうして が出ます。右端をまず計算します。
を、 の項と の項に分けます。どちらも見慣れた形になります。
前半は です。 が約分されて消えます。
後半は とおきます。、 で、 が から なら は から です。 となります。
どちらからも が消えました。 で、 をどう動かしても値は変わりません。上からの押さえがすでに定数だということです。
左端は と書けます。引かれるほうを評価します。
では分子が 、分母が ですから、この分数は 以上 以下です。長さ の区間で積分するので、値は 以上 以下になります。
よって です。 とすると両端がどちらも すなわち に近づきます。
はさみうちの原理から です。およそ になります。区間が縮むと が に近づき、重みだけの積分に化ける、というのが起きていることです。