を原点とする座標平面上で考える。 以上の整数 に対して，ベクトル を
と定める。投げたとき表と裏がどちらも の確率で出るコインを 回投げて，座標平面上に点 , , , , を以下の規則 (i), (ii) に従って定める。
(i) は にある。
(ii) を 以上 以下の整数とする。 が定まったとし， を次のように定める。
・ 回目のコイン投げで表が出た場合， により を定める。ただし， は 回目から 回目までのコイン投げで裏が出た回数とする。
・ 回目のコイン投げで裏が出た場合， を と定める。
(1) とする。 が にある確率を求めよ。
(2) とする。 が にあり，かつ，合計 回のコイン投げで表がちょうど 回である確率を とおく。ただし である。 を求めよ。また が最大となる の値を求めよ。
は を で割った余りだけで決まります。 ずつ離れた 方向で、 つ足すと になります。
表が出るたびに、そのときまでの裏の回数で向きが選ばれます。裏が出るあいだ点は止まったままで、裏は「次にどの向きを使うか」を進める役です。
向き , , をそれぞれ , , 回使ったとします。 ですから、着いた先は です。
と は平行でないので、 に戻るのは のときに限ります。
裏の回数を とすると、裏は列を の区切りに分けます。 番目の区切りにある表は、どれも 回の裏を経てきたものです。
その区切りにある表の数を とすると、向き を使った回数は です。 を で割った余りで、区切りを つの組に分けたことになります。
とすると表は 回で、 つの組それぞれに 個を配る、という数え方になります。
組の大きさが , , なら、配り方は重複組合せで 通りです。
表は 回ですから、 では は , , のどれかです。
は全部裏の 通り。 は表 回・裏 回で区切りが つ、それぞれに 個ずつ置くしかなく 通りです。
は表 回・裏 回で区切りが つ。 で割った余りで つずつの組になり、どちらの区切りへ 個置くかで 通りです。
合わせて 通り。コインの出方は全部で 通りですから、求める確率は です。
とすると裏は 回、区切りは 個です。 が の倍数なので、これも の倍数になります。
だから つの組はどれも同じ大きさ です。配り方は組ごとに 通りで、 つ掛けます。
よって が の倍数のとき 、そうでないとき です。
は で最大になります。 乗しても大小の順は変わらないので、 が最大になるのは のときです。