\mathrm{O} を原点とする座標平面上で考える。0 以上の整数 k に対して，ベクトル \vec{v_k} を
\vec{v_k} = \left(\cos\dfrac{2k\pi}{3},\ \sin\dfrac{2k\pi}{3}\right)
と定める。投げたとき表と裏がどちらも \dfrac{1}{2} の確率で出るコインを N 回投げて，座標平面上に点 \mathrm{X}_0, \mathrm{X}_1, \mathrm{X}_2, \ldots, \mathrm{X}_N を以下の規則 (i), (ii) に従って定める。
(i) \mathrm{X}_0 は \mathrm{O} にある。
(ii) n を 1 以上 N 以下の整数とする。\mathrm{X}_{n-1} が定まったとし，\mathrm{X}_n を次のように定める。
・n 回目のコイン投げで表が出た場合，\vec{\mathrm{OX}_n} = \vec{\mathrm{OX}_{n-1}}+\vec{v_k} により \mathrm{X}_n を定める。ただし，k は 1 回目から n 回目までのコイン投げで裏が出た回数とする。
・n 回目のコイン投げで裏が出た場合，\mathrm{X}_n を \mathrm{X}_{n-1} と定める。
(1) N = 8 とする。\mathrm{X}_8 が \mathrm{O} にある確率を求めよ。
(2) N = 200 とする。\mathrm{X}_{200} が \mathrm{O} にあり，かつ，合計 200 回のコイン投げで表がちょうど r 回である確率を p_r とおく。ただし 0 \leqq r \leqq 200 である。p_r を求めよ。また p_r が最大となる r の値を求めよ。
\vec{v_k} は k を 3 で割った余りだけで決まります。120^\circ ずつ離れた 3 方向で、3 つ足すと \vec{0} になります。
表が出るたびに、そのときまでの裏の回数で向きが選ばれます。裏が出るあいだ点は止まったままで、裏は「次にどの向きを使うか」を進める役です。
向き 0, 1, 2 をそれぞれ m_0, m_1, m_2 回使ったとします。\vec{v_2} = -\vec{v_0}-\vec{v_1} ですから、着いた先は (m_0-m_2)\vec{v_0}+(m_1-m_2)\vec{v_1} です。
\vec{v_0} と \vec{v_1} は平行でないので、\mathrm{O} に戻るのは m_0 = m_1 = m_2 のときに限ります。
裏の回数を t とすると、裏は列を t+1 の区切りに分けます。i 番目の区切りにある表は、どれも i 回の裏を経てきたものです。
その区切りにある表の数を g_i とすると、向き j を使った回数は m_j = \displaystyle\sum_{i \equiv j} g_i です。i を 3 で割った余りで、区切りを 3 つの組に分けたことになります。
m_0 = m_1 = m_2 = c とすると表は 3c 回で、3 つの組それぞれに c 個を配る、という数え方になります。
組の大きさが n_0, n_1, n_2 なら、配り方は重複組合せで _{c+n_0-1}\mathrm{C}_{n_0-1} \times _{c+n_1-1}\mathrm{C}_{n_1-1} \times _{c+n_2-1}\mathrm{C}_{n_2-1} 通りです。
表は 3c 回ですから、N = 8 では c は 0, 1, 2 のどれかです。
c = 0 は全部裏の 1 通り。c = 2 は表 6 回・裏 2 回で区切りが 3 つ、それぞれに 2 個ずつ置くしかなく 1 通りです。
c = 1 は表 3 回・裏 5 回で区切りが 6 つ。3 で割った余りで 2 つずつの組になり、どちらの区切りへ 1 個置くかで 2 \times 2 \times 2 = 8 通りです。
合わせて 10 通り。コインの出方は全部で 2^8 = 256 通りですから、求める確率は \dfrac{10}{256} = \dfrac{5}{128} です。
r = 3c とすると裏は 200-3c 回、区切りは 201-3c 個です。201 が 3 の倍数なので、これも 3 の倍数になります。
だから 3 つの組はどれも同じ大きさ \dfrac{201-3c}{3} = 67-c です。配り方は組ごとに _{c+66-c}\mathrm{C}_{66-c} = {}_{66}\mathrm{C}_c 通りで、3 つ掛けます。
よって r が 3 の倍数のとき p_r = \dfrac{\left({}_{66}\mathrm{C}_{\frac{r}{3}}\right)^3}{2^{200}}、そうでないとき p_r = 0 です。
_{66}\mathrm{C}_c は c = 33 で最大になります。3 乗しても大小の順は変わらないので、p_r が最大になるのは r = 99 のときです。