自然数 に対して， とする。 を自然数とし， の整数部分が 桁であるような の個数を とする。また， の整数部分が 桁であり，その最高位の数字が であるような の個数を とする。次を求めよ。
ただし，例えば実数 の整数部分 は 桁で，最高位の数字は である。
整数部分が 桁であることは、 と書けます。
常用対数を取ると です。以下 とおきます。
各辺を で割ると で、どの辺も 以上ですから 乗できて となります。
はこの区間に入る自然数の個数です。 そのものを見ずに、 の区間の長さを見ればよくなりました。
区間の長さは です。
区間に入る自然数の個数は、どこに置いても、その長さから を引いた数以上、 を足した数以下です。端に自然数が乗るかどうかで 個ずれるだけだからです。
ですから を厳密に書き下す必要はありません。 から 以内のずれで押さえられます。
を大きくすると本体は に比例して増え、ずれの は相対的に消えていきます。 も同じ扱いにします。
最高位の数字が であることは、 と書けます。
対数を取ると 、つまり です。
の側で見ると、この帯の幅はちょうど です。 を 倍することが を 進めることに当たるからで、 の底が であることがそのまま効いています。
に直すと で、長さは です。 桁ぶん全体の帯の幅 のうち、先頭の だけを取ったことになります。
はおよそ 、 はおよそ です。どちらもずれは 以内です。
比を作って で割ると、分子は へ、分母は へ近づきます。ずれの は で割ると消えます。
よって です。値は です。
桁が上がるたびに最高位が である割合が に落ち着くのは、ベンフォードの法則として知られている形です。