自然数 k に対して，a_k = 2^{\sqrt{k}} とする。n を自然数とし，a_k の整数部分が n 桁であるような k の個数を N_n とする。また，a_k の整数部分が n 桁であり，その最高位の数字が 1 であるような k の個数を L_n とする。次を求めよ。
\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{L_n}{N_n}
ただし，例えば実数 2345.678 の整数部分 2345 は 4 桁で，最高位の数字は 2 である。
整数部分が n 桁であることは、10^{n-1} \leqq a_k < 10^n と書けます。
常用対数を取ると n-1 \leqq \sqrt{k}\log_{10}2 < n です。以下 K = \log_{10}2 とおきます。
各辺を K で割ると \dfrac{n-1}{K} \leqq \sqrt{k} < \dfrac{n}{K} で、どの辺も 0 以上ですから 2 乗できて \dfrac{(n-1)^2}{K^2} \leqq k < \dfrac{n^2}{K^2} となります。
N_n はこの区間に入る自然数の個数です。a_k そのものを見ずに、k の区間の長さを見ればよくなりました。
区間の長さは \dfrac{n^2-(n-1)^2}{K^2} = \dfrac{2n-1}{K^2} です。
区間に入る自然数の個数は、どこに置いても、その長さから 1 を引いた数以上、1 を足した数以下です。端に自然数が乗るかどうかで 1 個ずれるだけだからです。
ですから N_n を厳密に書き下す必要はありません。\dfrac{2n-1}{K^2} から 1 以内のずれで押さえられます。
n を大きくすると本体は n に比例して増え、ずれの 1 は相対的に消えていきます。L_n も同じ扱いにします。
最高位の数字が 1 であることは、10^{n-1} \leqq a_k < 2 \cdot 10^{n-1} と書けます。
対数を取ると n-1 \leqq \sqrt{k}K < n-1+K、つまり \dfrac{n-1}{K} \leqq \sqrt{k} < \dfrac{n-1}{K}+1 です。
\sqrt{k} の側で見ると、この帯の幅はちょうど 1 です。a_k を 2 倍することが \sqrt{k} を 1 進めることに当たるからで、a_k の底が 2 であることがそのまま効いています。
k に直すと \dfrac{(n-1)^2}{K^2} \leqq k < \left(\dfrac{n-1}{K}+1\right)^2 で、長さは \dfrac{2(n-1)}{K}+1 です。n 桁ぶん全体の帯の幅 \dfrac{1}{K} のうち、先頭の 1 だけを取ったことになります。
L_n はおよそ \dfrac{2(n-1)}{K}+1、N_n はおよそ \dfrac{2n-1}{K^2} です。どちらもずれは 1 以内です。
比を作って n で割ると、分子は \dfrac{2}{K} へ、分母は \dfrac{2}{K^2} へ近づきます。ずれの 1 は n で割ると消えます。
よって \displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{L_n}{N_n} = \dfrac{2/K}{2/K^2} = K = \log_{10}2 です。値は 0.3010\cdots です。
桁が上がるたびに最高位が 1 である割合が \log_{10}2 に落ち着くのは、ベンフォードの法則として知られている形です。