\displaystyle\sum_{k=1}^{m} k(n-2k) = 2024 を満たす正の整数の組 (m,\ n) を求めよ。
k(n-2k) = nk-2k^2 と分けると、和は \displaystyle n\sum_{k=1}^{m} k-2\sum_{k=1}^{m} k^2 です。k の和は \dfrac{m(m+1)}{2}、k^2 の和は \dfrac{m(m+1)(2m+1)}{6} で、どちらにも m(m+1) が含まれる。
\dfrac{m(m+1)}{6} でくくると、かっこの中は 3n-2(2m+1) = 3n-4m-2 になります。両辺を 6 倍して、m(m+1)(3n-4m-2) = 12144 を満たす正の整数 m、n を探す。
12144 = 2^4 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 23 です。m(m+1) は正だから 3n-4m-2 も正の整数で、m、m+1、3n-4m-2 はどれも 12144 の約数に限られる。
となり合う 2 つの整数 m、m+1 の一方は奇数です。12144 の奇数の約数は、2^4 を除いた 3 \cdot 11 \cdot 23 = 759 の約数で、1、3、11、23、33、69、253、759 の 8 つがある。
もう一方は、その奇数より 1 大きいか 1 小さい偶数です。こちらも 12144 の約数だから、素因数は 2、3、11、23 だけで、2 は 4 個以下、ほかは 1 個以下でなければならない。
条件に合うのは、1 のとなりの 2、3 のとなりの 2 と 4、11 のとなりの 12、23 のとなりの 22 と 24 です。1 のもう一方のとなりの 0 は、m が正の整数でなくなるため使えない。10 = 2 \cdot 5 や、33 から先のとなりの 32 = 2^5、34 = 2 \cdot 17 などは、どれも 12144 を割り切らない。
(m,\ m+1) は (1,\ 2)、(2,\ 3)、(3,\ 4)、(11,\ 12)、(22,\ 23)、(23,\ 24) の 6 組にしぼられます。
6 組それぞれで 3n-4m-2 = \dfrac{12144}{m(m+1)} を計算し、4m+2 を足すと 3n の値が決まります。m = 1 なら \dfrac{12144}{2} = 6072 に 6 を足して 3n = 6078、n = 2026 となる。
m = 2、3、11、22 でも、3n は 2034、1026、138、114 と 3 の倍数になり、n = 678、342、46、38。m = 23 だけは \dfrac{12144}{552} = 22 に 94 を足した 116 が 3 で割り切れず、n は整数になりません。
求める組は (m,\ n) = (1,\ 2026)、(2,\ 678)、(3,\ 342)、(11,\ 46)、(22,\ 38) の 5 組です。
答えの 5 組で k(n-2k) を 1 項ずつ並べると、m = 1 は 2024 の 1 項だけ、m = 11 は 44 から 264 まで増えていく 11 項です。
(22,\ 38) では 38-2k が k = 19 で 0 になり、k = 20、21、22 の項は -40、-84、-132 と負の値をとる。問題が求めているのは和が 2024 になることだけで、負の項があってもこの組は答えの 1 つです。