この問いでは， 以上の整数の 乗になる数を平方数と呼ぶ。 を正の整数とし， とおく。
(1) を正の整数とする。 が平方数ならば， であることを示せ。
(2) が平方数となる正の整数 の個数を とおく。次の条件 (i), (ii) が同値であることを示せ。
(i) である。
(ii) は素数である。
だとどうなるかを見ます。このとき ですから、 です。
いっぽう ですから、 です。
つまり 。連続する 2 つの平方数のあいだに挟まってしまい、平方数にはなれません。
よって が平方数なら です。調べる範囲が から までに閉じました。
（ は 以上の整数）とおきます。 はそのままでは平方になりませんが、 倍して を足せば と平方になります。
そこで の両辺を 倍します。 ですから、 です。
を と書きます。 は正の整数ですから は 以上の奇数です。
左辺は平方の差なので因数分解できます。。整数の問題が、 の約数の問題に変わりました。
、 と置きます。 と から で、 です。 が奇数なので も も奇数です。
逆に 、 となる組があれば と が戻せます。 で , がともに奇数なら ですから、 も も の倍数です。
そこで 、 が整数として決まります。 より ですから で、たしかに正の整数です。
の範囲では が小さいほど が大きいので、組が違えば も違います。「 の約数の組」と「解 」は 1 対 1 で対応します。
組 はいつでもあります。このとき で、実際 です。 は必ず 以上です。
が素数なら約数は と だけですから、組はこの 1 つきり。 です。
が素数でなければ となる約数 があり、組が 2 つ以上できます。すると です。
両方向が言えたので、 と「 が素数」は同値です。図で を動かすと、 が素数のときだけ解がちょうど 1 つになるのが見えます。