大きい n は平方数のすきまに入る

n \geqq a+1 だとどうなるかを見ます。このとき n-a \geqq 1 ですから、f_a(n) = n^2+(n-a) \geqq n^2+1 > n^2 です。

いっぽう n-a \leqq n-1 ですから、f_a(n) \leqq n^2+n-1 < n^2+2n+1 = (n+1)^2 です。

つまり n^2 < f_a(n) < (n+1)^2。連続する 2 つの平方数のあいだに挟まってしまい、平方数にはなれません。

よって f_a(n) が平方数なら n \leqq a です。調べる範囲が 1 から a までに閉じました。

4 倍して平方の差にする

f_a(n) = m^2（m は 0 以上の整数）とおきます。n^2+n はそのままでは平方になりませんが、4 倍して 1 を足せば 4(n^2+n)+1 = (2n+1)^2 と平方になります。

そこで f_a(n) = m^2 の両辺を 4 倍します。4(n^2+n-a) = (2n+1)^2-(4a+1) ですから、(2n+1)^2-(2m)^2 = 4a+1 です。

4a+1 を M と書きます。a は正の整数ですから M は 5 以上の奇数です。

左辺は平方の差なので因数分解できます。(2n+1-2m)(2n+1+2m) = M。整数の問題が、M の約数の問題に変わりました。

d = 2n+1-2m、e = 2n+1+2m と置きます。de = M > 0 と e > 0 から d > 0 で、d \leqq e です。M が奇数なので d も e も奇数です。

逆に de = M、d \leqq e となる組があれば n と m が戻せます。M \equiv 1 \pmod 4 で d, e がともに奇数なら d \equiv e \pmod 4 ですから、e-d も d+e-2 も 4 の倍数です。

そこで n = \dfrac{d+e-2}{4}、m = \dfrac{e-d}{4} が整数として決まります。M \geqq 5 より d+e \geqq 6 ですから n \geqq 1 で、たしかに正の整数です。

0 < d \leqq \sqrt{M} の範囲では d が小さいほど d+e が大きいので、組が違えば n も違います。「M の約数の組」と「解 n」は 1 対 1 で対応します。

組 (d,\ e) = (1,\ M) はいつでもあります。このとき n = \dfrac{M-1}{4} = a で、実際 f_a(a) = a^2+a-a = a^2 です。N_a は必ず 1 以上です。

M が素数なら約数は 1 と M だけですから、組はこの 1 つきり。N_a = 1 です。

M が素数でなければ 1 < d \leqq \sqrt{M} となる約数 d があり、組が 2 つ以上できます。すると N_a \geqq 2 です。

両方向が言えたので、N_a = 1 と「4a+1 が素数」は同値です。図で a を動かすと、4a+1 が素数のときだけ解がちょうど 1 つになるのが見えます。