座標平面上の曲線
を考える。
(1) 座標平面上のすべての点 が次の条件 (i) を満たすことを示せ。
(i) 点 を通る直線 で，曲線 と相異なる 点で交わるものが存在する。
(2) 次の条件 (ii) を満たす点 のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ。
(ii) 点 を通る直線 で，曲線 と相異なる 点で交わり，かつ，直線 と曲線 で囲まれた つの部分の面積が等しくなるものが存在する。
を通る傾き の直線と の交点は、 の解です。 次式が異なる つの実数解を持てばよいことになります。
なら左辺は で山と谷を持ちます。 と置くと、山の値が 、谷の値が です。
点で交わるのは山が正で谷が負のとき、つまり のときです。
左辺は の 次、右辺は の 乗ですから、 を大きくすれば必ず右辺が勝ちます。どの についてもそういう直線があり、(1) が示せました。
交点の 座標を とすると、曲線から直線を引いた差は です。
つの部分の面積は と です。等しいという条件は、足して と書けます。
、 と置いて計算すると となります。
ですから、これが になるのは のときだけです。 が と の中点である、というのが求める条件です。
には の項がありません。だから 解の和は です。
が中点なら ですから です。真ん中の交点は原点に決まります。
つまり直線は原点を通ります。 と の交点は で、 点になるのは のときです。
そのとき交点は , , で、真ん中はちょうど中点です。面積が等しい直線は、原点を通り傾きが より大きいものに限ります。
が (ii) を満たすのは、 がそういう直線の上にあるときです。
なら通る直線の傾きは に決まります。条件は 、両辺に を掛けて です。
で の点は、原点を通る直線 には乗りません。縦の直線は と 点でしか交わらないので、これも使えません。
原点自身は に乗り、交点 , , で面積も等しくなります。答えは の部分、つまり 直線 と が作る向かい合う つの領域の内部に、原点を足したものです。