コイン①，…，⑥が右図のようにマス目の中に置かれている。
これらのコインから無作為にひとつを選び，選んだコインはそのままにし，そのコインのあるマス目と辺を共有して隣接するマス目のコインを裏返す操作を考える。例えば，①を選べば，②，④を裏返し，②を選べば，①，③，⑤を裏返す。最初はすべてのコインが表向きに置かれていたとする。正の整数 n に対し，n 回目の操作終了時点ですべてのコインが裏向きである確率を p_n とするとき，以下の問いに答えよ。
(1) p_2 を求めよ。
(2) コイン①，…，⑥をグループ A，B に分けることによって，n 回目の操作終了時点ですべてのコインが裏向きであるための必要十分条件を次の形に表すことができる。
n 回目の操作終了時点までに A に属する各コインはそれぞれ奇数回選ばれ，B に属する各コインはそれぞれ偶数回選ばれる。
どのようにグループ分けすればよいかを答えよ。
(3) p_4 を求めよ。
コインが裏返るのは、辺を共有する隣のマス目のコインを選んだときだけです。2 回裏返すと表に戻るため、操作のあとの向きは、隣のコインを選んだ回数の合計が奇数なら裏、偶数なら表になる。
選ぶ順序は向きに関係しません。全部が裏になるかどうかは、①から⑥のそれぞれを選んだ回数の偶奇だけで決まる。
1 回の操作で裏返るのは 2 枚か 3 枚で、2 回では合わせて 6 枚以下です。6 枚すべてを奇数回裏返すには、3 枚ずつ重ならずに裏返す 2 回でなければならない。
3 枚を裏返すのは②（①、③、⑤）と⑤（②、④、⑥）だけで、この 2 つはちょうど 6 枚を分け合う。選ぶ順は②、⑤と⑤、②の 2 通りだから、p_2 = \dfrac{2}{6^2} = \dfrac{1}{18} です。
コイン k を選んだ回数が奇数なら x_k = 1、偶数なら x_k = 0 とします。6 枚とも裏になる条件は、どのコインでも、隣にあるコインの x を足した値が奇数になることです。
①の隣は②、④で、⑤の隣は②、④、⑥。x_2+x_4 と x_2+x_4+x_6 がどちらも奇数だから x_6 = 0 で、③の隣の②、⑥から x_2 = 1、①の条件から x_4 = 0 が決まる。
同じように、④の隣①、⑤と、②の隣①、③、⑤を比べて x_3 = 0。⑥の隣③、⑤から x_5 = 1、④の条件から x_1 = 0 となります。
逆に②と⑤が奇数回、ほかが偶数回なら、どのコインも隣にある②か⑤の一方から奇数回、残りの隣から偶数回裏返され、6 枚とも裏になる。A を②、⑤、B を①、③、④、⑥とすればよい。
4 回のうち②と⑤が奇数回、ほかが偶数回になる選び方を数えます。②と⑤の回数が 3 回と 1 回なら、1 回のほうを何回目に選ぶかで 4 通りあり、どちらが 3 回かで 2 倍して 8 通り。
②と⑤が 1 回ずつなら、残りの 2 回は①、③、④、⑥のどれか 1 枚を 2 回選ぶことになる。そのコインの選び方が 4 通り、4 回の並べ方が \dfrac{4!}{2!} = 12 通りで、48 通りです。
合わせて 56 通りだから、p_4 = \dfrac{56}{6^4} = \dfrac{7}{162}。