座標空間内に 点 ，，， をとる。，， を辺にもつ立方体を とし， 点 ，， を通る平面を とする。 による の切り口を底面とし， を頂点とする錐体の体積を求めよ。
、 です。この つの両方に垂直なベクトルを とおくと、内積が という条件から 、 となり、 がとれる。
点 が 上にあるのは のときで、、すなわち です。 は 軸、 軸、 軸と 、、 で交わる。
立方体の つの頂点で の値を調べると、 で 、 で 、 で 、 で と より小さく、残りの つでは 以上になります。平面 は、 より小さい頂点と大きい頂点を結ぶ辺と交わる。
そのような辺は 、、 から 本ずつの 本です。たとえば から 軸の向きにのびる辺では から で、交点は 、、 と、、、 になる。
切り口は、この 点を順に結んだ 角形 です。 は の側にある。
、、、 の部分は、 と つの軸との交点を頂点とする四面体 です。 で直角に交わる 辺の長さが 、、 だから、体積は になる。
立方体のうち の の側にある部分は、 から立方体の外へはみ出す か所を除いたものです。はみ出すのは 、、 の小さな四面体で、、、 で直角に交わる 辺は順に 、、 と 、、 と 、、。
体積はそれぞれ 、、 です。 か所に同時に入る点は となって の外にあり、重なりはない。
残る部分の体積は です。
残った部分を、 を頂点とし、 を通らない面を底面とする錐体に分けます。底面は 角形 と、立方体の面の上の三角形 、、 の つです。
三角形 は面 の上にあり、面積は 、 からこの面までの距離は で、錐体の体積は になる。同じように、 の側は面積 で 、 の側は です。
求める錐体は残りの つで、体積は となる。