京都大学理系 2025 年・第 5 問

\mathrm{P}\left(\cos\theta,\ \sin\theta,\ \dfrac{1}{2}\cos\theta\right) は、x^2+y^2 = 1 と z = \dfrac{x}{2} の両方をみたします。\theta を動かすと、\mathrm{P} は円柱 x^2+y^2 = 1 を平面 z = \dfrac{x}{2} で切った楕円の上を回る。

-\dfrac{\pi}{4} < \theta < \dfrac{\pi}{4} では \cos\theta > \dfrac{\sqrt{2}}{2} で、\mathrm{P} の高さ \dfrac{1}{2}\cos\theta は \mathrm{A} の高さ \dfrac{\sqrt{2}}{4} より大きい。直線 \mathrm{AP} は、\mathrm{A} から \mathrm{P} と反対の側へ延ばしたところで xy 平面に届きます。

\theta = \pm\dfrac{\pi}{4} では \mathrm{P} の高さが \mathrm{A} と等しくなり、直線 \mathrm{AP} は xy 平面と平行です。\theta がそこへ近づくほど、交点 \mathrm{Q} は遠くへ離れていく。

直線 \mathrm{AP} 上の点は、実数 k を使って \left(k\cos\theta,\ k\sin\theta,\ \dfrac{\sqrt{2}}{4}+k\left(\dfrac{1}{2}\cos\theta-\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right)\right) と書けます。k = 0 が \mathrm{A}、k = 1 が \mathrm{P} です。

z 座標を 0 とおくと k = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-2\cos\theta} となる。\cos\theta > \dfrac{\sqrt{2}}{2} だから分母は負で、k < 0 です。

\mathrm{Q} は (k\cos\theta,\ k\sin\theta,\ 0) で、k < 0 だから、原点から見て \mathrm{P} の真下の点 (\cos\theta,\ \sin\theta,\ 0) と反対の向きにある。

\mathrm{Q}(x,\ y,\ 0) とおくと x = k\cos\theta、y = k\sin\theta で、x^2+y^2 = k^2 です。

k(\sqrt{2}-2\cos\theta) = \sqrt{2} の k\cos\theta を x におきかえると \sqrt{2}k-2x = \sqrt{2} で、k = 1+\sqrt{2}x となる。\theta はここで消えます。

x^2+y^2 = (1+\sqrt{2}x)^2 を整理すると x^2+2\sqrt{2}x+1-y^2 = 0 で、平方完成して (x+\sqrt{2})^2-y^2 = 1 です。中心 (-\sqrt{2},\ 0) の双曲線で、漸近線は y = \pm(x+\sqrt{2}) になる。

k < 0 は 1+\sqrt{2}x < 0、すなわち x < -\dfrac{\sqrt{2}}{2} です。双曲線の右の枝は x \geqq 1-\sqrt{2} にあってこれをみたさないため、\mathrm{Q} は左の枝の上にある。

\theta = 0 で \mathrm{Q} は頂点 (-1-\sqrt{2},\ 0) にきます。y = \dfrac{\sqrt{2}\sin\theta}{\sqrt{2}-2\cos\theta} を微分すると分子は 2(\cos\theta-\sqrt{2}) で負になり、\theta が増えると y は減る。

\theta \to -\dfrac{\pi}{4} で y \to \infty、\theta \to \dfrac{\pi}{4} で y \to -\infty です。軌跡は双曲線 (x+\sqrt{2})^2-y^2 = 1 のうち x \leqq -1-\sqrt{2} の部分、左の枝の全体になる。