は実数とする。 空間の 点 ， を通る直線 が 平面と交わるとき，その交点を とする。 が の範囲を動くときの点 の軌跡を求め，その軌跡を 平面上に図示せよ。
は、 と の両方をみたします。 を動かすと、 は円柱 を平面 で切った楕円の上を回る。
では で、 の高さ は の高さ より大きい。直線 は、 から と反対の側へ延ばしたところで 平面に届きます。
では の高さが と等しくなり、直線 は 平面と平行です。 がそこへ近づくほど、交点 は遠くへ離れていく。
直線 上の点は、実数 を使って と書けます。 が 、 が です。
座標を とおくと となる。 だから分母は負で、 です。
は で、 だから、原点から見て の真下の点 と反対の向きにある。
とおくと 、 で、 です。
の を におきかえると で、 となる。 はここで消えます。
を整理すると で、平方完成して です。中心 の双曲線で、漸近線は になる。
は 、すなわち です。双曲線の右の枝は にあってこれをみたさないため、 は左の枝の上にある。
で は頂点 にきます。 を微分すると分子は で負になり、 が増えると は減る。
で 、 で です。軌跡は双曲線 のうち の部分、左の枝の全体になる。