次の関数 f(x) を考える。
f(x) = (\cos x)\log(\cos x)-\cos x+\displaystyle\int_0^x (\cos t)\log(\cos t) dt \qquad \left(0 \leqq x < \dfrac{\pi}{2}\right)
(1) f(x) は区間 0 \leqq x < \dfrac{\pi}{2} において最小値を持つことを示せ。
(2) f(x) は区間 0 \leqq x < \dfrac{\pi}{2} における最小値を求めよ。
f は 3 つの部分でできています。(\cos x)\log(\cos x) と -\cos x と、同じ形を 0 から x まで積分したものです。
g(x) = (\cos x)\log(\cos x) と置くと f(x) = g(x)-\cos x+\displaystyle\int_0^x g(t) dt です。微分すると f'(x) = g'(x)+\sin x+g(x) となります。
g'(x) = -\sin x\log(\cos x)-\sin x ですから、-\sin x と +\sin x が消えます。積分の項を足してあるのは、このためだったことになります。
残るのは f'(x) = (\cos x-\sin x)\log(\cos x) です。積の形なので、符号は 2 つの因数を別々に見れば決まります。
0 \leqq x < \dfrac{\pi}{2} では 0 < \cos x \leqq 1 ですから \log(\cos x) \leqq 0 で、等号は x = 0 のときだけです。片方はずっと 0 以下です。
もう一方の \cos x-\sin x は、x < \dfrac{\pi}{4} で正、x = \dfrac{\pi}{4} で 0、x > \dfrac{\pi}{4} で負です。
掛けると 0 < x < \dfrac{\pi}{4} で f' < 0、\dfrac{\pi}{4} < x < \dfrac{\pi}{2} で f' > 0 です。減ってから増えるので、x = \dfrac{\pi}{4} で最小になります。
区間の右端は開いていますが、そこへ寄るあいだ f は増える一方です。最小は端ではなく内側で取られるので、最小値は確かに存在します。これで (1) が示せました。
f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) を出すには I = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}(\cos t)\log(\cos t) dt が要ります。
\log(\cos t) を微分する側に取ります。I = \Big[\sin t\log(\cos t)\Big]_0^{\frac{\pi}{4}}+\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\sin^2 t}{\cos t} dt です。
\dfrac{\sin^2 t}{\cos t} = \dfrac{1}{\cos t}-\cos t と割ります。\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{dt}{\cos t} = \log(1+\sqrt{2})、\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}\cos t dt = \dfrac{\sqrt{2}}{2} です。
端の値は \dfrac{\sqrt{2}}{2}\log\dfrac{\sqrt{2}}{2} = -\dfrac{\sqrt{2}}{4}\log 2 ですから、I = -\dfrac{\sqrt{2}}{4}\log 2+\log(1+\sqrt{2})-\dfrac{\sqrt{2}}{2} となります。
残る 2 項も同じ値から出ます。\cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} ですから (\cos x)\log(\cos x) = -\dfrac{\sqrt{2}}{4}\log 2、-\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} です。
3 つを足します。-\dfrac{\sqrt{2}}{4}\log 2 が 2 つで -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\log 2、-\dfrac{\sqrt{2}}{2} が 2 つで -\sqrt{2} です。
よって最小値は \log(1+\sqrt{2})-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\log 2-\sqrt{2} です。
-1.0230\cdots にあたります。x = 0 での値は \log 1-1 = -1 ですから、そこからほんの少しだけ下がったところが底です。