次の関数 を考える。
(1) は区間 において最小値を持つことを示せ。
(2) は区間 における最小値を求めよ。
は つの部分でできています。 と と、同じ形を から まで積分したものです。
と置くと です。微分すると となります。
ですから、 と が消えます。積分の項を足してあるのは、このためだったことになります。
残るのは です。積の形なので、符号は つの因数を別々に見れば決まります。
では ですから で、等号は のときだけです。片方はずっと 以下です。
もう一方の は、 で正、 で 、 で負です。
掛けると で 、 で です。減ってから増えるので、 で最小になります。
区間の右端は開いていますが、そこへ寄るあいだ は増える一方です。最小は端ではなく内側で取られるので、最小値は確かに存在します。これで (1) が示せました。
を出すには が要ります。
を微分する側に取ります。 です。
と割ります。、 です。
端の値は ですから、 となります。
残る 項も同じ値から出ます。 ですから 、 です。
つを足します。 が つで 、 が つで です。
よって最小値は です。
にあたります。 での値は ですから、そこからほんの少しだけ下がったところが底です。