実数 ， は ， を満たす。座標空間内に 点 ，，， をとる。
(1) ，，， がひし形の頂点となるとき， と の関係を表す等式を求めよ。
(2) ， が (1) の等式を満たすとき，，，， を頂点とする四角形の面積の最小値を求めよ。
は の座標の符号をすべて変えた点で、 と も同じ関係にあります。、 だから、線分 と の中点はどちらも原点 になる。
と が平行になるのは のときだけで、条件の範囲では起こりません。 本の対角線が互いの中点で交わるため、 点は 、 によらず平行四辺形 の頂点になる。
どの点も つの座標のうち つが なので、、、 の立方体の辺の上にある。図はその立方体と平行四辺形を、 と を変えながら描いたもの。
平行四辺形がひし形になるのは、 本の対角線が直交するときです。対角線 、 の向きは 、 と同じだから、条件は と書ける。
で、(1) の答えは です。
図は、平行四辺形がのっている平面に垂直な向きから見たもの。 を満たさない組と満たす組を交互に並べてあり、満たす組のときだけ対角線が直角に交わる。
ひし形の面積は対角線の長さの積の半分です。、 で、、 だから、面積は になる。
根号の中を展開すると 。 から で、 と だけの式になります。
と から で、 は の範囲を動く。 は が に近いほど小さいため、最小になるのは のときで、値は です。
このとき で、面積の最小値は 。 となり、ひし形は対角線の長さが の正方形になっている。