大阪大学理系 2026 年・第 5 問

a = b = c = k とおきます。分子は (3k)^2 = 9k^2、分母は 3k^3 ですから、x = \dfrac{9k^2}{3k^3} = \dfrac{3}{k} です。

k の 3 乗が 2 乗に約されて、ずいぶん簡単な形になりました。これが整数になるのは k が 3 の約数のとき、つまり k = 1 と k = 3 です。

k = 1 では x = 3、k = 3 では x = 1 です。k = 2,\ 4,\ 5,\ 6 ではそれぞれ \dfrac{3}{2},\ \dfrac{3}{4},\ \dfrac{3}{5},\ \dfrac{1}{2} で、どれも整数ではありません。

目の出方は全部で 6^3 = 216 通りです。あてはまるのは (1,\ 1,\ 1) と (3,\ 3,\ 3) の 2 通りですから、確率は \dfrac{2}{216} = \dfrac{1}{108} です。

m = 6 とは、3 つのうち少なくとも 1 つが 6 で、残りが 6 以下ということです。残る 2 つを p, q（ともに 1 以上 6 以下）とおくと、x = \dfrac{(6+p+q)^2}{18pq} となります。

x が整数なら (6+p+q)^2 = 18pq\,x です。右辺は 18 = 2 \cdot 3^2 の倍数ですから、左辺は 9 でも 2 でも割り切れます。

(6+p+q)^2 が 9 で割り切れるなら、3 が素数なので 6+p+q が 3 の倍数です。6 が 3 の倍数ですから p+q も 3 の倍数になります。同じように (6+p+q)^2 が偶数なら 6+p+q も偶数で、p+q も偶数です。

p+q は 3 の倍数でも偶数でもあるので、6 の倍数です。2 \leqq p+q \leqq 12 ですから、p+q は 6 か 12 しかありません。順序を考えずに数えると、p と q の組は \{1,\ 5\}, \{2,\ 4\}, \{3,\ 3\}, \{6,\ 6\} の 4 通りだけになりました。

p+q = 6 のとき 6+p+q = 12 で、(6+p+q)^2 = 144 = 18pq\,x ですから pq\,x = 8 です。pq が 8 の約数でなければなりません。

p+q = 6 をみたす組は \{1,\ 5\}, \{2,\ 4\}, \{3,\ 3\} で、pq はそれぞれ 5, 8, 9 です。この 3 つのうち 8 の約数になっているのは 8 だけですから、残るのは \{2,\ 4\} で、そのとき x = 1 です。

p+q = 12 のとき p = q = 6 しかありません。x = \dfrac{18^2}{18 \cdot 36} = \dfrac{324}{648} = \dfrac{1}{2} で、整数ではありません。

よって m = 6 かつ x が整数になるのは \{2,\ 4,\ 6\} の場合だけです。3 つとも異なるので並べ方は 3! = 6 通り、確率は \dfrac{6}{216} = \dfrac{1}{36} です。

まず分母です。m \leqq k となる出方は k^3 通りですから、m = k となるのは k^3-(k-1)^3 通りです。m = 2,\ 4,\ 6 でそれぞれ 7, 37, 91 通りで、合わせて 135 通りです。

m = 4 のときは x = \dfrac{(4+p+q)^2}{12pq}（1 \leqq p,\ q \leqq 4）です。12 = 2^2 \cdot 3 ですから、4+p+q は偶数かつ 3 の倍数、つまり 4+p+q が 6 の倍数です。6 \leqq 4+p+q \leqq 12 なので 4+p+q は 6 か 12 です。

4+p+q = 6 は p = q = 1 で、x = \dfrac{36}{12} = 3 となり整数です。4+p+q = 12 は p = q = 4 で、x = \dfrac{144}{192} = \dfrac{3}{4} で整数ではありません。\{4,\ 1,\ 1\} の並べ方は 3 通りです。

m = 2 のときは x = \dfrac{(2+p+q)^2}{6pq}（1 \leqq p,\ q \leqq 2）で、同じ理由から 2+p+q が 6 の倍数、つまり p = q = 2 です。x = \dfrac{36}{24} = \dfrac{3}{2} で整数ではありません。あてはまるのは 6+3 = 9 通りなので、条件つき確率は \dfrac{9}{135} = \dfrac{1}{15} です。