整数 a，b，c に対し次の条件を考える。
(＊) a \geqq b \geqq 0 かつ a^2-b^2 = c
以下の問いに答えよ。
(1) c = 24，25，26 それぞれの場合に条件(＊)をみたす整数の組 (a,\ b) をすべて求めよ。
(2) p は 3 以上の素数，n は正の整数，c = 4p^{2n} とする。このとき，条件(＊)をみたす整数の組 (a,\ b) をすべて求めよ。
u = a-b、v = a+b とおくと、a^2-b^2 = c は uv = c になります。a \geqq b \geqq 0 から 0 \leqq u \leqq v で、a = \dfrac{u+v}{2}、b = \dfrac{v-u}{2} と戻せる。
u+v = 2a は偶数だから、u と v の偶奇はそろう。逆に、uv = c と 0 \leqq u \leqq v を満たし偶奇のそろった整数 u、v を選べば、a、b は整数になり、(＊) を満たす組が 1 つ決まります。
図は a = 7、b = 5 の例です。1 辺 a の正方形から 1 辺 b の正方形を除いた残りを 2 つに切って並べかえると、縦 a-b、横 a+b の長方形になる。
uv = 24、u \leqq v となる組は (1,\ 24)、(2,\ 12)、(3,\ 8)、(4,\ 6)。偶奇のそろう (2,\ 12)、(4,\ 6) から、c = 24 の答え (a,\ b) = (7,\ 5)、(5,\ 1) が決まります。
c = 25 の組 (1,\ 25)、(5,\ 5) はどちらも奇数どうしで、(a,\ b) = (13,\ 12)、(5,\ 0) となる。b = 0 も b \geqq 0 を満たしています。
26 = 2 \cdot 13 は 4 で割ると 2 余る。奇数どうしの積は奇数、偶数どうしの積は 4 の倍数だから、偶奇のそろった 2 数の積が 26 になることはなく、c = 26 を満たす組はありません。
c = 4p^{2n} は偶数だから、偶奇のそろった u、v はどちらも偶数です。u = 2s、v = 2t とおくと st = p^{2n} で、1 \leqq s \leqq t となる。
p は素数なので、p^{2n} の正の約数は p^k (k = 0,\ 1,\ \cdots,\ 2n) だけです。s = p^k、t = p^{2n-k} と書け、s \leqq t となるのは k \leqq n のとき。
a = s+t、b = t-s に戻すと、(a,\ b) = (p^{2n-k}+p^k,\ p^{2n-k}-p^k) (k = 0,\ 1,\ \cdots,\ n) の n+1 組になります。k = n の組は (2p^n,\ 0) で、図は p = 3、n = 2 の 3 組を並べたもの。