を正の実数とする。 における の関数 を，座標平面上の 点 , 間の距離 の 乗として定める。
(1) の範囲に となる がただ つ存在することを示せ。
(2) 以下が成り立つような の範囲を求めよ。
における の関数 は，区間 のある点において最大になる。
は で、 が から まで動くと右へ進みながら下がる曲線を描きます。
は にあり、 が大きいほど左へ離れます。
です。
微分すると となります。このままでは符号が読めません。
、 を入れます。どちらの項にも が入ります。
くくり出すと となります。
ここで です。
では ですから、 の符号は の符号そのものになりました。
を微分します。半角のまま計算すると が効いて、ほとんどの項が消えます。
残るのは だけです。
では 、 ですから で、 は減る一方です。
、 ですから、 の零点は にちょうど つです。これで (1) が示せました。
の零点を とすると、 は まで増えて、そこから減ります。最大は で取られます。
求める条件は です。 が減る一方なので、これは と同じことです。
です。
これが負になるのは のときです。 と合わせて、答えは です。