名古屋大学理系 2025 年・第 3 問

点 (1,\ 0) を原点のまわりに \alpha だけ回した点を \mathrm{P} とします。C が通過する領域は、はじめの C の x 軸より下の半分と、最後の C を直線 \mathrm{OP} で切った半分のうち回転が進む側、そのあいだの部分に分かれる。

あいだの部分は、原点を中心とする半径 1+r の扇形から半径 1-r の扇形を除いた形で、中心角は \alpha です。面積は \dfrac{\alpha}{2}\{(1+r)^2-(1-r)^2\} = 2\alpha r となる。

両端の 2 つの半円を合わせた面積は \pi r^2 だから、通過する領域の面積は \pi r^2+2\alpha r。3 つの部分が重ならず、すき間もなく領域を覆う理由は、原点を中心とする円の上で見るとわかります。

原点を中心とする半径 \rho (1-r \leqq \rho \leqq 1+r) の円の上の点 (\rho\cos\varphi,\ \rho\sin\varphi) と (1,\ 0) の距離の 2 乗は \rho^2+1-2\rho\cos\varphi です。C に含まれる条件は \cos\varphi \geqq \dfrac{\rho^2+1-r^2}{2\rho} になる。

右辺は r \leqq 1 から 0 以上、(\rho-1)^2 \leqq r^2 から 1 以下です。そのため C に含まれるのは -\beta \leqq \varphi \leqq \beta \left(0 \leqq \beta \leqq \dfrac{\pi}{2}\right) の弧で、x 軸について対称になる。

C を \theta だけ回すと弧も \theta だけ回り、\theta を 0 から \alpha まで動かしたときにこの円のうち通過するのは、角 -\beta から \alpha+\beta までの弧です。\alpha < \pi、\beta \leqq \dfrac{\pi}{2} から弧の中心角は \alpha+2\beta < 2\pi で、1 周して重なることはない。

この弧の -\beta から 0 の部分をすべての \rho について集めると、C の下半分になる。0 から \alpha は扇形から扇形を除いた部分、\alpha から \alpha+\beta は最後の C の半分にあたり、3 つの部分で領域がちょうど覆われます。

z 軸のまわりに回しても、平面 z = t の上の点は同じ平面の上にあります。B が通過する立体を平面 z = t (-R < t < R) で切った断面は、B の断面をこの平面の中で回したときに通過する領域になる。

B の断面は、点 (1,\ 0,\ t) を中心とする半径 \sqrt{R^2-t^2} の円板です。0 < \sqrt{R^2-t^2} \leqq R \leqq 1 だから (1) の結果が使え、断面積は \pi(R^2-t^2)+2\alpha\sqrt{R^2-t^2}。

体積は \displaystyle\int_{-R}^{R} \{\pi(R^2-t^2)+2\alpha\sqrt{R^2-t^2}\}\,dt です。前の項の積分は半径 R の球の体積 \dfrac{4}{3}\pi R^3 で、\displaystyle\int_{-R}^{R} \sqrt{R^2-t^2}\,dt は半径 R の半円の面積 \dfrac{\pi R^2}{2} にあたる。

合わせると、B が通過する領域の体積は \dfrac{4}{3}\pi R^3+2\alpha \cdot \dfrac{\pi R^2}{2} = \dfrac{4}{3}\pi R^3+\pi\alpha R^2 になります。

断面ごとの 3 つの部分を積み重ねると、立体も 3 つに分かれる。はじめと最後の B の半分ずつで球 1 つぶん、残りは xz 平面の円板 (x-1)^2+z^2 \leqq R^2 を z 軸のまわりに \alpha だけ回した立体で、その体積が \pi\alpha R^2 です。