以下の問いに答えよ。

(1) 実数，は，をみたすとする。平面内で，点を中心にもつ半径の円周およびその内部をとする。を原点を中心に反時計まわりに角度だけ回転させるとき，が通過する領域の面積を求めよ。

(2) 実数，は，をみたすとする。空間内で，点を中心にもつ半径の球面およびその内部をとする。を軸のまわりに角度だけ回転させるとき，が通過する領域の体積を求めよ。ただし，回転の向きは回転後のの中心がになるように選ぶものとする。

通過する領域はつに分かれ、面積は

点を原点のまわりにだけ回した点をとします。が通過する領域は、はじめのの軸より下の半分と、最後のを直線で切った半分のうち回転が進む側、そのあいだの部分に分かれる。

あいだの部分は、原点を中心とする半径の扇形から半径の扇形を除いた形で、中心角はです。面積はとなる。

両端のつの半円を合わせた面積はだから、通過する領域の面積は。つの部分が重ならず、すき間もなく領域を覆う理由は、原点を中心とする円の上で見るとわかります。

原点を中心とする円の上では、の中の弧が角だけ動く

原点を中心とする半径の円の上の点との距離の乗はです。に含まれる条件はになる。

右辺はから以上、から以下です。そのために含まれるのはの弧で、軸について対称になる。

をだけ回すと弧もだけ回り、をからまで動かしたときにこの円のうち通過するのは、角からまでの弧です。、から弧の中心角はで、周して重なることはない。

この弧のからの部分をすべてのについて集めると、の下半分になる。からは扇形から扇形を除いた部分、からは最後のの半分にあたり、つの部分で領域がちょうど覆われます。

軸のまわりに回しても、平面の上の点は同じ平面の上にあります。が通過する立体を平面で切った断面は、の断面をこの平面の中で回したときに通過する領域になる。

の断面は、点を中心とする半径の円板です。だから (1) の結果が使え、断面積は。

体積はです。前の項の積分は半径の球の体積で、は半径の半円の面積にあたる。

合わせると、が通過する領域の体積はになります。

断面ごとのつの部分を積み重ねると、立体もつに分かれる。はじめと最後のの半分ずつで球つぶん、残りは平面の円板を軸のまわりにだけ回した立体で、その体積がです。