座標平面において， で表される曲線を とする。実数 に対して， 上の点 における の接線を で表す。 を をみたす実数とするとき， と の交点を , と の交点を , と の交点を とし，三角形 の面積を とする。
(1) を の式で表せ。
(2) 実数 が の範囲を動くとき， を最大にする の値と， の最大値を求めよ。
を微分すると です。点 での接線は となります。
右辺を展開すると、定数の部分は です。 が打ち消し合って、 という短い形になります。
この 本の式に を入れれば、必要な 本がそのまま出ます。、、 です。
が原点を通る傾き の直線であることは、あとで効いてきます。
は と の交点です。 から となり、 です。 に関係なく動きません。
は と の交点です。 を整理すると で、 ですから 、つまり です。
は と の交点です。 から となり、 で約せて です。 は に戻して となります。
ここで大事なのは と が、どちらも すなわち直線 の上にあることです。三角形の 辺がこの直線に乗っているので、面積は底辺と高さで測れます。
と は の上で 座標が と ですから、 です。 なので絶対値は外れます。
高さは から直線 までの距離で、 です。 が底辺と高さで打ち消し合うので、根号は残りません。
です。 を使って、 の 次の項が消えました。
かけ合わせると となります。 でも でも に近づく形をしています。
を微分します。分子は となり、 です。
では も も正ですから、符号を決めるのは だけです。 の正の解は で、これは をみたします。
この前では増え、後では減るので、そこが最大です。値を出すときは を使うと楽になります。 と書き直せて、 です。
よって最大値は で、 を入れると となります。およそ です。 が にも にも寄らない、ちょうど中ほどより少し右で、三角形がいちばん広がります。