を実数とし，複素数 に対して， とする。ただし， は虚数単位， は と共役な複素数である。
(1) は実数であることを示せ。
(2) 実数 に対して， かつ となるような複素数 の個数を とする。 を求めよ。
が実数なので、 の共役は です。すると の共役は ですから、 の分子はある複素数とその共役を足したものです。
複素数とその共役の和は実部の 倍で、いつでも実数です。それを で割った も実数になります。(1) はこれで終わりです。
ただし (2) へ進むには、値そのものが要ります。（, は実数）とおいて計算します。、 です。
虚部が打ち消し合って和は となり、 です。実数であることがここでも見えますし、 が 平面の上の 次式だと分かりました。
は , の場合ですから です。
とおくと、条件は 、つまり です。 は実数なので、これはふつうの 次方程式です。
左辺は と因数分解できます。和が 、積が ですから、 と が根です。よって または です。
ですから、求めるのは単位円 の上で または をみたす点の個数になります。どちらの式も 平面の直線です。
と は、左辺が同じですから平行です。原点からの距離は、順に と です。
本目は より、距離がいつでも より小さくなります。 が何であっても単位円と 点で交わります。 ですから がそのうちの つで、これは条件の作られ方からして当然です。
本目は と の比較で、 と の比較、つまり と の比較になります。 なら 点、 なら接して 点、 なら共有点なしです。
平行な 直線は、重ならないかぎり共有点を持ちません。ですから、ふつうは 本の交点を足すだけで済みます。
と が同じ直線になるのは のときだけです。このとき と が同じ条件なので、 次方程式が重解を持ち、点は 個しかありません。
は の側にあるので、うっかりすると 個と数えてしまいます。数える前に、 つの根が別のものかどうかを見ておく必要があります。
まとめると、 のとき 、 のとき 、 かつ のとき 、 のとき です。
を から動かしていくと、 個が で 個になり、そこから までは 個、また 個を経て 個に戻り、 でそこだけ 個に落ちます。