次の問いに答えよ。
(1) t > 0 のとき，-\dfrac{1}{t} < \displaystyle\int_t^{2t} \dfrac{\sin x}{x^2}dx < \dfrac{1}{t} が成り立つことを示せ。
(2) \displaystyle\lim_{t \to \infty} \displaystyle\int_t^{2t} \dfrac{\cos x}{x}dx = 0 を示せ。
(3) f(x) = \sin\left(\dfrac{3x}{2}\right)\sin\left(\dfrac{x}{2}\right) とおく。\displaystyle\lim_{t \to \infty} \displaystyle\int_1^t \dfrac{f(x)}{x}dx = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_1^2 \dfrac{\cos x}{x}dx を示せ。
t > 0 なので、積分する区間 [t,\ 2t] では x > 0 です。-1 \leqq \sin x \leqq 1 の各辺を正の数 x^2 で割ると -\dfrac{1}{x^2} \leqq \dfrac{\sin x}{x^2} \leqq \dfrac{1}{x^2} となります。
そのまま積分できて、-\displaystyle\int_t^{2t} \dfrac{dx}{x^2} \leqq \displaystyle\int_t^{2t} \dfrac{\sin x}{x^2}dx \leqq \displaystyle\int_t^{2t} \dfrac{dx}{x^2} です。
右辺は \left[-\dfrac{1}{x}\right]_t^{2t} = -\dfrac{1}{2t}+\dfrac{1}{t} = \dfrac{1}{2t} です。\sin が暴れても、\dfrac{1}{x^2} の積分でおさえられます。
t > 0 では \dfrac{1}{2t} < \dfrac{1}{t} ですから、-\dfrac{1}{t} < \displaystyle\int_t^{2t} \dfrac{\sin x}{x^2}dx < \dfrac{1}{t} が言えました。等号にならないだけの余裕が残っています。
\dfrac{\cos x}{x} はそのままでは積分できません。そこで \left(\dfrac{\sin x}{x}\right)' = \dfrac{\cos x}{x} - \dfrac{\sin x}{x^2} に気づきます。ちょうど (1) の中身が出てきます。
移項して積分すると \displaystyle\int_t^{2t} \dfrac{\cos x}{x}dx = \left[\dfrac{\sin x}{x}\right]_t^{2t} + \displaystyle\int_t^{2t} \dfrac{\sin x}{x^2}dx です。
第 1 項は \dfrac{\sin 2t}{2t}-\dfrac{\sin t}{t} で、絶対値は \dfrac{1}{2t}+\dfrac{1}{t} = \dfrac{3}{2t} 以下です。第 2 項は (1) から \dfrac{1}{t} より小さいところにいます。
合わせて -\dfrac{5}{2t} < \displaystyle\int_t^{2t} \dfrac{\cos x}{x}dx < \dfrac{5}{2t} です。\dfrac{3}{2t}+\dfrac{1}{t} = \dfrac{5}{2t} を使いました。t \to \infty で両端が 0 になるので、はさみうちの原理から積分も 0 に近づきます。
\sin A \sin B = \dfrac{1}{2}\{\cos(A-B)-\cos(A+B)\} を使います。A = \dfrac{3x}{2}, B = \dfrac{x}{2} なので A-B = x, A+B = 2x で、f(x) = \dfrac{1}{2}(\cos x - \cos 2x) となります。
すると \displaystyle\int_1^t \dfrac{f(x)}{x}dx = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_1^t \dfrac{\cos x}{x}dx - \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_1^t \dfrac{\cos 2x}{x}dx と 2 つに分かれます。
後ろは u = 2x とおきます。\dfrac{dx}{x} = \dfrac{du}{u} で形が変わらず、区間だけが [2,\ 2t] に移ります。つまり \displaystyle\int_1^t \dfrac{\cos 2x}{x}dx = \displaystyle\int_2^{2t} \dfrac{\cos u}{u}du です。
\dfrac{\cos x}{x} という同じものの、区間だけが違う積分の差になりました。\dfrac{dx}{x} が倍率を変えても同じ形のまま残るところが、この問題の仕かけです。
\displaystyle\int_1^t = \displaystyle\int_1^2 + \displaystyle\int_2^t、\displaystyle\int_2^{2t} = \displaystyle\int_2^t + \displaystyle\int_t^{2t} と分けます（t が 2 より大きいところを見ています）。
差を取ると \displaystyle\int_2^t が消えて、\displaystyle\int_1^2 - \displaystyle\int_t^{2t} だけが残ります。長い区間どうしがちょうど重なって打ち消し合うのです。
よって \displaystyle\int_1^t \dfrac{f(x)}{x}dx = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_1^2 \dfrac{\cos x}{x}dx - \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_t^{2t} \dfrac{\cos x}{x}dx です。
右の項は (2) から t \to \infty で 0 に近づきます。残るのは \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_1^2 \dfrac{\cos x}{x}dx で、示すべき等式が出ました。(1) と (2) は、この最後の項を消すためだけに用意されていたことになります。