座標空間の 4 点 \mathrm{O}，\mathrm{A}，\mathrm{B}，\mathrm{C} は同一平面上にないとする。s，t，u は 0 でない実数とする。直線 \mathrm{OA} 上の点 \mathrm{L}，直線 \mathrm{OB} 上の点 \mathrm{M}，直線 \mathrm{OC} 上の点 \mathrm{N} を，\vec{\mathrm{OL}} = s\vec{\mathrm{OA}}，\vec{\mathrm{OM}} = t\vec{\mathrm{OB}}，\vec{\mathrm{ON}} = u\vec{\mathrm{OC}} が成り立つようにとる。
(1) s，t，u が \dfrac{1}{s}+\dfrac{2}{t}+\dfrac{3}{u} = 4 を満たす範囲であらゆる値をとるとき，3 点 \mathrm{L}，\mathrm{M}，\mathrm{N} の定める平面 \mathrm{LMN} は，s，t，u の値に無関係な一定の点 \mathrm{P} を通ることを示せ。さらに，そのような点 \mathrm{P} はただ 1 つに定まることを示せ。
(2) 四面体 \mathrm{OABC} の体積を V とする。(1) における点 \mathrm{P} について，四面体 \mathrm{PABC} の体積を V を用いて表せ。
\vec{a} = \vec{\mathrm{OA}}、\vec{b} = \vec{\mathrm{OB}}、\vec{c} = \vec{\mathrm{OC}} とおきます。4 点が同一平面上にないので、空間のどの点 \mathrm{X} も \vec{\mathrm{OX}} = \alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c} とただ 1 通りに表せる。
\mathrm{X} が平面 \mathrm{LMN} 上にあるのは、\vec{\mathrm{OX}} = k_1\vec{\mathrm{OL}}+k_2\vec{\mathrm{OM}}+k_3\vec{\mathrm{ON}}、k_1+k_2+k_3 = 1 と書けるときです。\vec{\mathrm{OL}} = s\vec{a} などを入れて係数を比べると、k_1 = \dfrac{\alpha}{s}、k_2 = \dfrac{\beta}{t}、k_3 = \dfrac{\gamma}{u} となります。
条件は \dfrac{\alpha}{s}+\dfrac{\beta}{t}+\dfrac{\gamma}{u} = 1 の 1 つにまとまる。平面 \mathrm{LMN} は、この式をみたす点の集まりです。
与えられた式 \dfrac{1}{s}+\dfrac{2}{t}+\dfrac{3}{u} = 4 を 4 で割ると、\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{s}+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{t}+\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{u} = 1 です。
平面の式と見比べると、(\alpha,\ \beta,\ \gamma) = \left(\dfrac{1}{4},\ \dfrac{1}{2},\ \dfrac{3}{4}\right) は s、t、u が何であっても式をみたす。この点を \mathrm{P} とすれば、\mathrm{P} はすべての平面 \mathrm{LMN} の上にあります。
たとえば s = t = u = \dfrac{3}{2} では \dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{3}+2 = 4 で、平面 \mathrm{LMN} は平面 \mathrm{ABC} と平行になる。この平面の点は係数の和が \dfrac{3}{2} で、\mathrm{P} の係数の和 \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4} も \dfrac{3}{2} です。
定点 \mathrm{X}（\vec{\mathrm{OX}} = \alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}）があれば、それは次の 3 つの組の平面すべてに乗ります。(s,\ t,\ u) = \left(\dfrac{3}{2},\ \dfrac{3}{2},\ \dfrac{3}{2}\right)、\left(1,\ 2,\ \dfrac{3}{2}\right)、\left(2,\ 2,\ \dfrac{6}{5}\right) で、どれも条件の式をみたす組です。
平面に乗る条件は、順に \alpha+\beta+\gamma = \dfrac{3}{2}、\alpha+\dfrac{\beta}{2}+\dfrac{2}{3}\gamma = 1、\dfrac{\alpha}{2}+\dfrac{\beta}{2}+\dfrac{5}{6}\gamma = 1 です。3 つ目を 2 倍して 1 つ目を引くと \dfrac{2}{3}\gamma = \dfrac{1}{2} で、\gamma = \dfrac{3}{4} となる。
1 つ目から \alpha+\beta = \dfrac{3}{4}、2 つ目から \alpha+\dfrac{\beta}{2} = \dfrac{1}{2} で、\beta = \dfrac{1}{2}、\alpha = \dfrac{1}{4} です。3 枚の平面が共有する点は \mathrm{P} しかなく、定点はただ 1 つに決まる。
\vec{\mathrm{OP}} = \dfrac{3}{2}\vec{\mathrm{OD}} となる点 \mathrm{D} をとると、\vec{\mathrm{OD}} = \dfrac{1}{6}\vec{a}+\dfrac{1}{3}\vec{b}+\dfrac{1}{2}\vec{c} です。係数の和が 1 だから、\mathrm{D} は平面 \mathrm{ABC} 上にある。
\mathrm{P} は直線 \mathrm{OD} を \mathrm{D} の先へ延ばしたところにあり、\mathrm{DP} = \dfrac{1}{2}\mathrm{OD} です。平面 \mathrm{ABC} までの距離も、\mathrm{P} は \mathrm{O} の \dfrac{1}{2} になります。
四面体 \mathrm{PABC} と四面体 \mathrm{OABC} は底面 \triangle\mathrm{ABC} が共通で、高さの比が 1 : 2 です。体積は \dfrac{V}{2} となる。