複素数 z = \dfrac{1+i}{\sqrt{2}} を考える。ただし，i は虚数単位である。以下では \sqrt{2} が無理数であることは証明せずに用いてよい。
(1) 整数 n に対して，z^n を求めよ。
(2) |a_0 + a_1z| = 1 となるような整数の組 (a_0,\ a_1) をすべて求めよ。
(3) 複素数 w で，|w| = 1 かつある整数 a_0，a_1，\cdots，a_n (n \geqq 0) により，w = a_0 + a_1z + \cdots + a_nz^n と表されるものをすべて求めよ。
\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \cos\dfrac{\pi}{4} = \sin\dfrac{\pi}{4} だから、z = \cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4} です。ド・モアブルの定理は負の整数でも成り立ち、どの整数 n でも次の式になる。
z^n = \cos\dfrac{n\pi}{4} + i\sin\dfrac{n\pi}{4}
z^8 = \cos 2\pi + i\sin 2\pi = 1 なので、z^n は n を 8 で割った余りで決まります。z^4 = -1 だから、余りが 4 以上のときは 4 小さい余りの値の符号を変えたものになる。k を整数として、次の 8 通り。
\begin{aligned} z^{8k} &= 1 \\ z^{8k+1} &= \dfrac{1+i}{\sqrt{2}} \\ z^{8k+2} &= i \\ z^{8k+3} &= \dfrac{-1+i}{\sqrt{2}} \end{aligned}
\begin{aligned} z^{8k+4} &= -1 \\ z^{8k+5} &= \dfrac{-1-i}{\sqrt{2}} \\ z^{8k+6} &= -i \\ z^{8k+7} &= \dfrac{1-i}{\sqrt{2}} \end{aligned}
図のように、z をかけるたびに単位円の上を \dfrac{\pi}{4} ずつ回り、8 回で 1 に戻ります。
a_0 + a_1z = \left(a_0 + \dfrac{a_1}{\sqrt{2}}\right) + \dfrac{a_1}{\sqrt{2}}i で、絶対値の 2 乗は実部と虚部の 2 乗の和です。
\begin{aligned} |a_0 + a_1z|^2 &= \left(a_0 + \dfrac{a_1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \dfrac{a_1^2}{2} \\ &= a_0^2 + a_1^2 + \sqrt{2}\,a_0a_1 \end{aligned}
これが 1 に等しいとき、a_0a_1 \neq 0 なら \sqrt{2} = \dfrac{1 - a_0^2 - a_1^2}{a_0a_1} と書け、右辺は有理数なので \sqrt{2} が無理数であることに反する。したがって a_0a_1 = 0 で、残る条件は a_0^2 + a_1^2 = 1 です。
a_0、a_1 のどちらかが 0 で、もう一方は \pm 1。求める組は (1,\ 0)、(-1,\ 0)、(0,\ 1)、(0,\ -1) の 4 つで、a_0 + a_1z はそれぞれ 1、-1、z、-z になる。
図の点は a_0、a_1 を -1、0、1 にとった 9 通りの a_0 + a_1z です。単位円に乗るのは明るい 4 点だけで、1 - z と -1 + z は内側、1 + z と -1 - z は外側にある。
z^4 = -1 だから、0 以上の整数 k と j = 0,\ 1,\ 2,\ 3 に対して z^{4k+j} = (-1)^kz^j です。w の各項をこの形に直し、z^j ごとに係数を集めると、整数 b_0、b_1、b_2、b_3 を使って次のように書ける。
w = b_0 + b_1z + b_2z^2 + b_3z^3
逆に、どの整数 b_0、b_1、b_2、b_3 も、n = 3、a_j = b_j とおけば問題の形で表せます。調べる w は、この形の数全体と同じもの。
z^2 = i、z^3 = \dfrac{-1+i}{\sqrt{2}} を代入すると、w の実部は b_0 + \dfrac{b_1 - b_3}{\sqrt{2}}、虚部は b_2 + \dfrac{b_1 + b_3}{\sqrt{2}} になる。
実部と虚部の 2 乗を足します。\dfrac{(b_1 - b_3)^2 + (b_1 + b_3)^2}{2} = b_1^2 + b_3^2 だから、\sqrt{2} を含まない部分は 4 つの 2 乗の和にまとまる。
|w|^2 = (b_0^2 + b_1^2 + b_2^2 + b_3^2) + \sqrt{2}\,m
m = b_0b_1 + b_1b_2 + b_2b_3 - b_3b_0 は整数です。(2) と同じく、|w|^2 = 1 で m \neq 0 なら \sqrt{2} が有理数になるため m = 0 で、b_0^2 + b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 = 1 が残る。
4 つの 2 乗の和が 1 になるのは、1 つだけが \pm 1 で残りが 0 のときです。m の各項はどれも 0 をかけた形になり、m = 0 も成り立つ。w は \pm 1、\pm z、\pm z^2、\pm z^3 の 8 つです。
-z^j = z^4 \cdot z^j = z^{j+4} だから、これらは (1) で求めた値と同じもの。w = z^j は a_j = 1、ほかの係数を 0 とすれば表せるため、答えは次の 8 つになる。
1,\ \dfrac{1+i}{\sqrt{2}},\ i,\ \dfrac{-1+i}{\sqrt{2}}
-1,\ \dfrac{-1-i}{\sqrt{2}},\ -i,\ \dfrac{1-i}{\sqrt{2}}
図の暗い点は、b_0 から b_3 を -1、0、1 に限ったときの w です。w = 1 - z + z^2 - z^3 では |w|^2 = 4 - 2\sqrt{2} となって 1 に近いものの、m = -2 が残るため単位円には乗らない。