はをで割った余りで決まる

だから、です。ド・モアブルの定理は負の整数でも成り立ち、どの整数でも次の式になる。

なので、はをで割った余りで決まります。だから、余りが以上のときは小さい余りの値の符号を変えたものになる。を整数として、次の通り。

図のように、をかけるたびに単位円の上をずつ回り、回でに戻ります。

に残るの項

で、絶対値の乗は実部と虚部の乗の和です。

これがに等しいとき、ならと書け、右辺は有理数なのでが無理数であることに反する。したがってで、残る条件はです。

、のどちらかがで、もう一方は。求める組は、、、のつで、はそれぞれ、、、になる。

図の点は、を、、にとった通りのです。単位円に乗るのは明るい点だけで、とは内側、とは外側にある。

だから、以上の整数とに対してです。の各項をこの形に直し、ごとに係数を集めると、整数、、、を使って次のように書ける。

逆に、どの整数、、、も、、とおけば問題の形で表せます。調べるは、この形の数全体と同じもの。

、を代入すると、の実部は、虚部はになる。

実部と虚部の乗を足します。だから、を含まない部分はつの乗の和にまとまる。

は整数です。(2) と同じく、でならが有理数になるためで、が残る。

つの乗の和がになるのは、つだけがで残りがのときです。の各項はどれもをかけた形になり、も成り立つ。は、、、のつです。

だから、これらは (1) で求めた値と同じもの。は、ほかの係数をとすれば表せるため、答えは次のつになる。

図の暗い点は、からを、、に限ったときのです。ではとなってに近いものの、が残るため単位円には乗らない。