球面と辺が交わらないのは通り

球面は、中心から距離にある点の集まりです。辺上のどの点もからより遠いか、どの点もより近いか。交わらないのは、この通りに限られる。

辺の上で点を動かすと、からの距離は切れ目なく変わります。距離の最小値を、最大値をとすれば、球面が辺と交わる条件はです。

の位置ごとに区間が決まる。を辺全体で動かしたとき、どの区間にも入らないが答えになります。

、、とおくと、どれも長さで、つずつの内積はです。

、として、辺上のを、辺上の点をと表します。となる。

乗を展開するとで、整理するとです。平方完成してになる。

を止めると、交わるは幅の区間

を止めてをからまで動かすと、はで最小の、とで最大のをとります。

とおくと、このを中心とする球面が辺と交わるのはのときです。はで、とでをとり、そのあいだを切れ目なく動く。

区間をからまで並べると、からまで途切れずにつながり、合わせてを覆います。

どのでも交わらないためには、がどの区間にも入らなければならない。またはで、とあわせてまたはです。

は、ねじれの位置にある辺とのあいだの最短の距離で、辺の中点どうしを結ぶ線分の長さにあたります。半径がこれに届かなければ、球面は辺に触れない。

は、辺全体が球の内側に入る場合です。から辺上の点までの距離は、がかにあってがかにあるときのがいちばん長い。