原点を とする座標空間内の 点 ， に対して，，， で定まる点 が存在する範囲を とする。 に含まれる半径 の円のうち，その中心と原点との距離が最小となるものを とする。円 の中心の座標を求めよ。
とおくと、 は線分 の上の点です。 で、 は から までの線分を動く。
（）だから、 は から出る 本の半直線 、 にはさまれた、平面 の上の領域です。 に含まれる円は、この平面の上にある。
、、 です。なす角を とすると、 となる。
半角の公式から で、 です。
円が に入るには、中心 から 本の半直線を含む直線までの距離が、どちらも半径 以上でなければならない。 と 本の半直線のなす角を 、 とすると、 で、距離は と です。
と のどちらかは 以下で、その角の は 以下だから、 となる。等号は、 が角の二等分線の上にあって、円が 本の半直線の両方に接するときに成り立ちます。
そのとき です。
角の二等分線の向きは、 本の半直線の向きの単位ベクトルの和 の向きです。
の長さは で、長さを にすると になる。円 の中心は です。
確かめると、 と の向きの単位ベクトルの内積は で、直線 までの距離は となる。直線 についても同じです。