円周率が 3.05 より大きいことを証明せよ。
問題文は 1 行だけです。円周率は、円周の長さを直径で割ったものですから、半径 r の円なら周の長さは 2\pi r と書けます。
3.14 という値は知っていますが、それを持ち出しても答えにはなりません。3.14 が正しいことを、まだ何も示していないからです。
道は 1 つです。円周より短いと言い切れる長さを見つけ、それを計算してしまうことです。円周はそれより長いのですから、\pi を下から押さえたことになります。
円に内接する多角形を考えます。頂点はすべて円周の上にあり、辺はその 2 点を結ぶ線分です。
2 点を結ぶ最短の道は線分ですから、弦は、両端を同じくする弧より短くなります。どの辺についても同じことが言えます。
辺をすべて足せば、内接する多角形の周は円周より短い、と言えます。探していた「円周より短いと言い切れる長さ」がこれです。
あとは、周の長さを実際に計算できる多角形を選ぶだけです。正多角形なら、一辺の長さが三角比で出ます。
まず正六角形で試します。中心角は \dfrac{360^\circ}{6} = 60^\circ です。
中心と隣り合う 2 頂点でできる三角形は、2 辺が半径で頂角が 60^\circ ですから、正三角形になります。だから一辺は半径そのもの、r です。
周は 6r です。円周のほうが長いので 2\pi r > 6r、両辺を 2r で割って \pi > 3 となります。
3 どまりで、3.05 には届きません。辺を増やせば多角形は円に近づき、周は長くなります。そこで辺の数を 2 倍にします。
正十二角形の中心角は \dfrac{360^\circ}{12} = 30^\circ です。
中心と隣り合う 2 頂点でできる三角形は、等しい 2 辺が r、頂角が 30^\circ の二等辺三角形です。頂点から底辺へ垂線を下ろすと、頂角は半分の 15^\circ に分かれます。
底辺の半分が r\sin 15^\circ ですから、一辺は 2r\sin 15^\circ です。
15^\circ は 45^\circ - 30^\circ ですから、\sin 15^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} と出ます。
辺は 12 本ありますから、周は 12 \times 2r\sin 15^\circ = 24r\sin 15^\circ です。
\sin 15^\circ = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} を入れると、周は 6(\sqrt{6} - \sqrt{2})r になります。
円周のほうが長いので 2\pi r > 6(\sqrt{6} - \sqrt{2})r、両辺を 2r で割って \pi > 3(\sqrt{6} - \sqrt{2}) です。
残っているのは、この右辺が 3.05 より大きいことを、数値で示すことだけです。
\sqrt{6} と \sqrt{2} を、それぞれ都合のよい向きに評価します。差を下から押さえたいので、\sqrt{6} は下から、\sqrt{2} は上からです。
2.449^2 = 5.997601 < 6 ですから \sqrt{6} > 2.449 です。1.415^2 = 2.002225 > 2 ですから \sqrt{2} < 1.415 です。
よって \sqrt{6} - \sqrt{2} > 2.449 - 1.415 = 1.034 となり、\pi > 3 \times 1.034 = 3.102 が出ます。
3.102 > 3.05 ですから、円周率は 3.05 より大きい、が示せました。