整式 を考える。
(1) を実数を係数とする整式とし， を で割った余りを とおく。 を で割った余りと を で割った余りが等しいことを示せ。
(2) , を実数とし， とおく。 を で割った余りを とおき， を で割った余りを とおく。 が に等しくなるような , の組をすべて求めよ。
を で割った商を とすると と書けます。示したいのは，この に取りかえてから 乗してよい，ということです。
乗して二項展開します。 です。
の項はどれも を因数に持つので で割り切れます。 を持たない項は の だけです。
よって は で割り切れ， つを で割った余りは等しくなります。余りを取る操作と 乗は入れかえてよい，ということです。
は 次， は 次ですから， を で割った余りは 自身です。
は の余りです。(1) を , として使うと， の余りは の余りに等しくなります。
つまり は を で割った余りです。 という条件は， が で割り切れることと同じになります。
乗を 度という手順が，割り切れるかどうかという つの条件に化けました。同値なので，ここから出す条件はそのまま答えになります。
を代入すると です。 からも が出ます。
実数 で となるのは のときで， の つに限られます。
は同じ因数が つ重なっているので，値が になるだけでは足りません。 を微分した式も で になる必要があります。
微分すると です。 は のどれかで は か ですから， にはなりません。残るのは ，つまり で です。
が決まったので です。, となります。
も も のどれかでなければなりません。 の側からは ， の側からは です。
両方に入るのは と です。 は となって外れます。
なら , ， なら , で，どちらも つの条件をすべて満たします。答えは と です。