を実数とし，座標平面上の曲線 を で定める。 上の 点 , に対する以下の条件 を考える。
条件 原点 , 点 , 点 は相異なり， の , , における接線のうち，どの 本も交わり，そのなす角はすべて となる。
ただし， 直線のなす角は 以上 以下の範囲で考えるものとする。
(1) 条件 を満たす , が存在するような の範囲を求めよ。
(2) が (1) で定まる範囲にあるとする。, が条件 を満たすように動くとき， の , , における接線によって囲まれる三角形の面積 の最大値を , 最小値を とおく。ただし， 本の接線が 点で交わるときは とする。 となる の値を求めよ。
です。, の 座標を , とすると、 本の接線の傾きは , , です。
, は原点と異なるので , 、よって , です。原点での傾き に正の数を足したものが残り つですから、 が つの中でいちばん小さい傾きになります。
また だと 本の傾きが等しくなります。接線は なので、 と では切片が違い、 本は平行で交わりません。条件が「どの 本も交わり」と言っているので です。
そこで , とおきます。, は異なる正の数で、 つの傾きは , , です。
どの 本のなす角も ということを、傾きではなく直線の向きの角で読みます。向きの角は を足しても同じ直線を表します。
本が互いに ずつ開いているので、向きの角は , , という形しかありません。逆にこの形なら、どの 本のなす角も です。
つの傾きは , , です。 倍角の公式で （）ですから、 とおくと つの傾きは の 解です。
解と係数の関係から、 つの傾きの和は 、 つずつ掛けて足したものは 、積は です。 を含まない関係が つあるところが効きます。
つの向きの角は ずつ離れています。 の幅を ずつ つに割ると、どの区間にもちょうど つずつ入ります。
は で増えるので、この区間で表したときにいちばん左にある向きが、いちばん小さい傾きを与えます。それは に入っている向きです。
よって最小の傾きは より小さくなります。逆に より小さい値は、この区間の向きの としてすべて現れます。
最小の傾きは でした。よって条件をみたす , があるのは 、つまり のときです。このとき , が正の異なる値として決まり、, が取れます。
を決めると , が決まり、, は符号だけが自由です。接線の切片は , で、符号を変えると切片の符号も変わります。組み合わせは 通りですが、原点について 回すと と が移り合うので、面積は 種類です。
面積を出します。 本を （）、、 とします。前の 本の交点は 、 本目と 本目は で、どちらも の上にあります。この 点を結ぶ辺を底辺に取ります。
底辺の長さは 、残る頂点から直線 までの距離は です。掛けて半分にすると が消えて、 となります。
, を入れます。, の符号が同じか違うかで が変わり、違うときのほうが大きくなります。よって は符号違い、 は符号同じのときの面積です。 本が 点で交わることは起きません。
, です。 とおくと、 の比が と の比になり、 となります（ としました）。
は 、つまり です。よって で、 となります。
あとは と を で表します。傾き , , について と から , が出ます。、 です。
割ると です。これを とおいて 、 となります。 で ですから です。およそ で、(1) の境目 よりきちんと大きくなっています。