n を正の整数とする。座標平面上の 3n 個の点がなす集合
\{(x,\ y)\ |\ x,\ y は 1 \leqq x \leqq 3, 1 \leqq y \leqq n を満たす整数\}
から相異なる 3 点を選ぶ。ただし，どの 3 点も等確率で選ばれるものとする。選んだ 3 点が三角形の 3 頂点となる確率を p_n とする。
(1) p_5 を求めよ。
(2) m を 2 以上の整数とする。p_{2m} を求めよ。
点は横に 3 列、縦に n 行の格子に並んでいます。全部で 3n 個あり、3 点の選び方は _{3n}\mathrm{C}_3 通りです。
選んだ 3 点が三角形にならないのは、3 点が一直線に並ぶときです。そこで一直線になる選び方を数え、全体から引きます。
まず、同じ列にある 2 点を選ぶと、その 2 点を通る直線は縦の直線です。3 点目もその列になければ一直線になりません。ですから一直線の 3 点は「3 つとも同じ列」か「3 列に 1 点ずつ」のどちらかです。
この 2 つに分けて数えれば足ります。斜めの直線が 3 点を通るときは、列が 3 つしかないので、かならず 1 列に 1 点ずつになります。
3 つとも同じ列の場合は、列が 3 つ、各列から 3 点を選ぶので 3 \cdot {}_n\mathrm{C}_3 通りです。
3 列に 1 点ずつの場合は、x = 1,\ 2,\ 3 での y 座標を a, b, c とします。3 点 (1,\ a), (2,\ b), (3,\ c) が一直線に並ぶのは、x が 1 ずつ増えるあいだに y の増え方が同じとき、つまり b-a = c-b のときです。
これは a+c = 2b、つまり a, b, c がこの順に等差数列になることと同じです。a = b = c の横一直線も、公差 0 の等差としてここに入ります。
a と c を決めれば b = \dfrac{a+c}{2} が決まります。あとは、これが 1 以上 n 以下の整数になるかどうかだけです。
b = \dfrac{a+c}{2} が整数になるのは a+c が偶数のとき、つまり a と c の偶奇がそろうときです。
そのとき b は a と c のあいだにあるので、1 以上 n 以下という条件は自動的にみたされます。範囲の心配は要りません。
1 から n までに偶数と奇数がいくつあるかで数が決まります。n が偶数なら、偶数も奇数も \dfrac{n}{2} 個ずつなので、偶奇のそろう (a,\ c) は \left(\dfrac{n}{2}\right)^2 \times 2 = \dfrac{n^2}{2} 通りです。
よって n が偶数のとき、一直線になる選び方は 3 \cdot {}_n\mathrm{C}_3 + \dfrac{n^2}{2} 通りです。n が奇数のときは奇数が 1 つ多く、\dfrac{n^2+1}{2} 通りになります。
n = 5 のとき、全体は _{15}\mathrm{C}_3 = 455 通りです。一直線は 3 \cdot {}_5\mathrm{C}_3 + \dfrac{25+1}{2} = 30 + 13 = 43 通りです。
よって p_5 = 1 - \dfrac{43}{455} = \dfrac{412}{455} です。
n = 2m のときは、全体が _{6m}\mathrm{C}_3 = 2m(6m-1)(3m-1)、一直線が 3 \cdot {}_{2m}\mathrm{C}_3 + 2m^2 = 2m(m-1)(2m-1) + 2m^2 = 2m(2m^2-2m+1) 通りです。
割って p_{2m} = 1 - \dfrac{2m^2-2m+1}{(6m-1)(3m-1)} = \dfrac{16m^2-7m}{18m^2-9m+1} = \dfrac{m(16m-7)}{(6m-1)(3m-1)} です。m を大きくすると \dfrac{16}{18} = \dfrac{8}{9} に近づきます。