を正の整数とする。座標平面上の 個の点がなす集合
は , を満たす整数
から相異なる 点を選ぶ。ただし，どの 点も等確率で選ばれるものとする。選んだ 点が三角形の 頂点となる確率を とする。
(1) を求めよ。
(2) を 以上の整数とする。 を求めよ。
点は横に 列、縦に 行の格子に並んでいます。全部で 個あり、 点の選び方は 通りです。
選んだ 点が三角形にならないのは、 点が一直線に並ぶときです。そこで一直線になる選び方を数え、全体から引きます。
まず、同じ列にある 点を選ぶと、その 点を通る直線は縦の直線です。 点目もその列になければ一直線になりません。ですから一直線の 点は「 つとも同じ列」か「 列に 点ずつ」のどちらかです。
この つに分けて数えれば足ります。斜めの直線が 点を通るときは、列が つしかないので、かならず 列に 点ずつになります。
つとも同じ列の場合は、列が つ、各列から 点を選ぶので 通りです。
列に 点ずつの場合は、 での 座標を , , とします。 点 , , が一直線に並ぶのは、 が ずつ増えるあいだに の増え方が同じとき、つまり のときです。
これは 、つまり , , がこの順に等差数列になることと同じです。 の横一直線も、公差 の等差としてここに入ります。
と を決めれば が決まります。あとは、これが 以上 以下の整数になるかどうかだけです。
が整数になるのは が偶数のとき、つまり と の偶奇がそろうときです。
そのとき は と のあいだにあるので、 以上 以下という条件は自動的にみたされます。範囲の心配は要りません。
から までに偶数と奇数がいくつあるかで数が決まります。 が偶数なら、偶数も奇数も 個ずつなので、偶奇のそろう は 通りです。
よって が偶数のとき、一直線になる選び方は 通りです。 が奇数のときは奇数が つ多く、 通りになります。
のとき、全体は 通りです。一直線は 通りです。
よって です。
のときは、全体が 、一直線が 通りです。
割って です。 を大きくすると に近づきます。