e は自然対数の底とする。x > \dfrac{1}{\sqrt{e}} において定義された次の関数 f(x)，g(x) を考える。
f(x) = x^2\log x，g(x) = x^2\log x-\dfrac{1}{1+2\log x}
実数 t は t > \dfrac{1}{\sqrt{e}} を満たすとする。曲線 y = f(x) 上の点 (t,\ f(t)) における接線に垂直で，点 (t,\ g(t)) を通る直線を l_t とする。直線 l_t が x 軸と交わる点の x 座標を p(t) とする。t が \dfrac{1}{\sqrt{e}} < t \leqq e の範囲を動くとき，p(t) のとりうる値の範囲を求めよ。
f(x) = x^2\log x を微分すると f'(x) = x(1+2\log x) です。x > \dfrac{1}{\sqrt{e}} では \log x > -\dfrac{1}{2} で 1+2\log x > 0 だから、接線の傾き m = t(1+2\log t) は正になる。
l_t は傾き -\dfrac{1}{m} で、点 (t,\ g(t)) を通る直線です。y = 0 とおくと -g(t) = -\dfrac{1}{m}(x-t) となり、x = t+m\,g(t) が p(t) にあたります。
m = t(1+2\log t) だから、g の分数の項は \dfrac{1}{1+2\log t} = \dfrac{t}{m} と書けます。点 (t,\ g(t)) は、接点 (t,\ f(t)) から \dfrac{t}{m} だけ下にある。
p(t) = t+m\left(f(t)-\dfrac{t}{m}\right) では t が打ち消し合い、p(t) = m\,f(t) = t^3\log t\,(1+2\log t) が残ります。接点を通る法線と l_t は平行で、x 軸との交点がちょうど t だけずれる。
u = \log t とおくと t = e^u で、p(t) = e^{3u}(2u^2+u) です。t の範囲 \dfrac{1}{\sqrt{e}} < t \leqq e は -\dfrac{1}{2} < u \leqq 1 にあたる。
h(u) = e^{3u}(2u^2+u) とおきます。積の微分で h'(u) = e^{3u}\{3(2u^2+u)+(4u+1)\} となり、中かっこの中は 6u^2+7u+1 です。
6u^2+7u+1 = (6u+1)(u+1) で、u > -\dfrac{1}{2} では u+1 > 0 です。h'(u) の符号は 6u+1 で決まり、h は u = -\dfrac{1}{6} まで減って、そのあと増える。
u = -\dfrac{1}{6} では 2u^2+u = \dfrac{1}{18}-\dfrac{1}{6} = -\dfrac{1}{9} で、最小値は -\dfrac{1}{9}e^{-\frac{1}{2}} = -\dfrac{1}{9\sqrt{e}} となります。
u が -\dfrac{1}{2} に近づくと 2u^2+u は 0 に近づき、h(u) も 0 に近づきます。u = -\dfrac{1}{2} は範囲に入らないので、減っている側の値は -\dfrac{1}{9\sqrt{e}} 以上 0 未満にとどまる。
増えている側は u = -\dfrac{1}{6} から u = 1 までで、右端の値は h(1) = 3e^3 です。この区間で h は -\dfrac{1}{9\sqrt{e}} から 3e^3 まで切れ目なく値をとり、u = 0（t = 1）では 0 になる。
2 つを合わせると、p(t) のとりうる値の範囲は -\dfrac{1}{9\sqrt{e}} \leqq p(t) \leqq 3e^3 です。