は自然対数の底とする。 において定義された次の関数 ， を考える。
，
実数 は を満たすとする。曲線 上の点 における接線に垂直で，点 を通る直線を とする。直線 が 軸と交わる点の 座標を とする。 が の範囲を動くとき， のとりうる値の範囲を求めよ。
を微分すると です。 では で だから、接線の傾き は正になる。
は傾き で、点 を通る直線です。 とおくと となり、 が にあたります。
だから、 の分数の項は と書けます。点 は、接点 から だけ下にある。
では が打ち消し合い、 が残ります。接点を通る法線と は平行で、 軸との交点がちょうど だけずれる。
とおくと で、 です。 の範囲 は にあたる。
とおきます。積の微分で となり、中かっこの中は です。
で、 では です。 の符号は で決まり、 は まで減って、そのあと増える。
では で、最小値は となります。
が に近づくと は に近づき、 も に近づきます。 は範囲に入らないので、減っている側の値は 以上 未満にとどまる。
増えている側は から までで、右端の値は です。この区間で は から まで切れ目なく値をとり、（）では になる。
つを合わせると、 のとりうる値の範囲は です。