三角形は 1 枚の平面の上

, , はどれもを満たします。はの中点ですから、これも同じ平面の上です。

そこで三角形の点をと書きます。の内部と周は、、、の 3 つで表せます。

確かめてみます。は、は、はで、がとを結ぶ辺になります。

のまわりに回すので、を止めて切った断面を見ていきます。と置くと、切り口ではです。

切り口は線分

ですから、切り口はを動かした線分です。より、よりとなります。

つまり。がからまで動くとはからまで動き、切り口の長さもそれにつれて変わります。

軸からの距離はです。2 乗するとで、の 2 次式になります。

この 2 次式はで最小、両端へ行くほど大きくなります。回したときの内側の縁と外側の縁が、この最小と最大です。

線分を軸のまわりに回すと、いちばん近い点といちばん遠い点のあいだが埋まって、輪（ドーナツの切り口）になります。外側の半径を、内側の半径をと書けば、面積はです。

の上限が以上なら、最小のに届きます。これはのときです。最大はのですから、面積はとなります。

では上限がより手前で切れるので、最小は端の値です。面積はです。

では両方の式がになり、つながっています。（点のところ）ではです。

で積分するかわりにで積分します。向きが逆になるだけで、はからまで動きます。

前半はです。

後半はです。

たして。これが求める体積です。