を原点とする座標空間において，不等式 , , の表す立方体を考える。その立方体の表面のうち， を満たす部分を とする。
以下，座標空間内の 点 , が一致するとき，線分 は点 を表すものとし，その長さを と定める。
(1) 座標空間内の点 が次の条件 (i), (ii) をともに満たすとき，点 が動きうる範囲 の体積を求めよ。
(i)
(ii) 線分 と は，共有点を持たないか，点 のみを共有点に持つ。
(2) 座標空間内の点 と点 が次の条件 (iii), (iv), (v) をすべて満たすとき，点 が動きうる範囲 の体積を求めよ。必要ならば， を満たす実数 を用いてよい。
(iii)
(iv) 線分 と は共有点を持たない。
(v) 線分 と は，共有点を持たないか，点 のみを共有点に持つ。
, , は 辺 の立方体です。 はその中心にあり，頂点までの距離はちょうど です。条件 (i) の はこの距離です。
は立方体の表面のうち の部分で，上面 を除いた 面にあたります。上面の 辺も なので に入りません。
条件 (ii) は，線分 が を突き抜けてはいけない，というものです。 自身が に乗るのはかまわないので， 面は の行き止まりになります。
向きごとに考えます。その向きの出口が の上なら，そこまでしか行けません。出口が上面なら，突き抜けて まで行けます。この 通りに分けて数えます。
出口が の上にある向きを集めます。 がその面の上にあるとき，線分 が通る範囲は，その面を底面とし を頂点とする四角錐です。
底面は 辺 の正方形，高さは ですから，体積は です。
は 面ですから合わせて です。立方体の体積 は つの四角錐に分かれるので，残る が上面へ向かう四角錐にあたります。
その は切り落とされたのではありません。上面が開いているぶん，立方体の外へ続いていきます。
上面は に入らないので，線分 は上面を通り抜けられます。ただし上面の 辺は側面の縁でもあるので， と 辺が作る 枚の平面の内側までしか開きません。
この錐は 面それぞれについて同じ形のものが取れ， つが合同で空間を隙間なく分けます。だから つぶんは空間全体のちょうど です。
届く先は ですから，半径 の球の になります。 です。
この立体は上面へ向かう四角錐 も含んでいます。二重に数えないよう と足して， です。
(2) は から を経て へ行く折れ線です。合わせて までで， は に触れてはいけません。
とすれば (1) と同じことになるので， は を含みます。増えるぶんだけを数えます。
ですから，折れて得をするのは，まっすぐ行くと にぶつかる相手だけです。そのとき道は壁を回り込むので，曲がる場所は壁の縁，つまり上面の辺の上になります。
とおくと ， です。この辺が受け持つ出っ張りを とすると，辺は 本あって形はどれも同じですから， は と つ分の和になります。
辺のまわりの向きを分けます。立方体の内側へ向かうのが ，平面 より上，つまり の側へ向かうのが ，残る が です。 を平面 で切ると，半径 ，中心角 の扇形になります。
は を について最大にしたものです。
微分して とおくと ，つまり です。このとき になります。
入れ直すと となります。 で ， で最大の です。
です。 と から です。
本ぶん足して となります。 が ， が で，回り込みで増えるのはわずかです。