はで決まってしまう

重心の条件はです。

はの中点ですからです。, が平面上なのでもそうで、とおけます。

よってです。が決まればも決まります。

との位置そのものは、を中点とする弦として決まります。動かせるのはだけだ、というのがこの問題の形です。

が球面上にあることがの円を決める

もの上にあるのでです。整理すると、つまりとなります。

中心、半径の円です。逆に、この円の上にを取ればは球面上に来ます。

ただしとは相異なる点でなければなりません。を中点とする弦の長さはですから、ではになってしまいます。

この円の上ではです。これがになるのは、つまりだけです。よって軌跡は円から点を除いたものです。

弦はを通り、に垂直です。平面上の点がこの弦（を延ばした直線）に乗るのは、つまりのときです。

とおきます。ですから、条件はです。

とについて整理するととなります。左辺は三角関数の合成でを振幅とする波です。

ですから、そのようながあるのはのときです。弦は円の内側だけなので、これにを合わせます。

を展開すると、まとめてです。

平方完成して、つまりとなります。中心の双曲線で、頂点はとです。

求める範囲は、この双曲線のつの枝にはさまれた部分と、円板の共通部分です。右の枝は頂点で円に接し、そこ以外は円の外にあるので、実際に切り取っているのは左の枝だけです。左の枝と円はで交わります。

最後に点を除きます。この点を弦に乗せるはしかなく、それは (1) で除いたものだからです。原点が範囲に入らないことも見ておくとよく、なので確かに外れています。