(1) 関数 f(\theta) = \sin\theta - \theta + \dfrac{\theta^3}{6} の区間 -1 \leqq \theta \leqq 1 における最大値 M および最小値 m を求めよ。
(2) (1) で定めた M に対し，次の不等式を示せ。
\dfrac{7}{8}\pi \leqq \displaystyle\int_0^{2\pi} \sin(\cos x - x)dx \leqq \dfrac{7}{8}\pi + 4M
f'(\theta) = \cos\theta - 1 + \dfrac{\theta^2}{2} です。この符号を見ます。
h(\theta) = \cos\theta - 1 + \dfrac{\theta^2}{2} とおくと h(0) = 0、h'(\theta) = \theta - \sin\theta です。\theta \geqq 0 では \sin\theta \leqq \theta なので h' \geqq 0、\theta \leqq 0 では逆向きに h' \leqq 0 です。つまり h は \theta = 0 で最小になり、その値が 0 ですから h \geqq 0 です。
よって f' \geqq 0 で、f は区間の左端から右端までずっと増えます。最大は右端、最小は左端です。
f は奇関数（f(-\theta) = -f(\theta)）ですから、M = f(1) = \sin 1 - \dfrac{5}{6}、m = f(-1) = \dfrac{5}{6} - \sin 1 = -M です。M はおよそ 0.00814 で、たいへん小さい値です。
加法定理で \sin(\cos x - x) = \sin(\cos x)\cos x - \cos(\cos x)\sin x と分けます。
後ろの \displaystyle\int_0^{2\pi} \cos(\cos x)\sin x\,dx は u = \cos x とおくと du = -\sin x\,dx です。x が 0 から 2\pi まで動くとき u は 1 から出て 1 に戻るので、この積分は 0 です。
残るのは \displaystyle\int_0^{2\pi} \sin(\cos x)\cos x\,dx だけです。x そのものが式から消え、\cos x しか出てこない形になりました。
ここが大事です。\cos x は -1 以上 1 以下ですから、(1) の区間にちょうど収まります。\theta = \cos x として (1) を使えます。
(1) の f の定め方から \sin\theta = \theta - \dfrac{\theta^3}{6} + f(\theta) です。\theta = \cos x を入れて \cos x を掛けます。
\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin(\cos x)\cos x\,dx = \displaystyle\int_0^{2\pi} \cos^2 x\,dx - \dfrac{1}{6}\displaystyle\int_0^{2\pi} \cos^4 x\,dx + \displaystyle\int_0^{2\pi} f(\cos x)\cos x\,dx となります。
\cos^2 x = \dfrac{1+\cos 2x}{2} から \displaystyle\int_0^{2\pi} \cos^2 x\,dx = \pi、\cos^4 x = \left(\dfrac{1+\cos 2x}{2}\right)^2 を展開して \displaystyle\int_0^{2\pi} \cos^4 x\,dx = \dfrac{3}{4}\pi です。
前の 2 つを足すと \pi - \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{3}{4}\pi = \pi - \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{7}{8}\pi です。示すべき不等式の左端が出てきました。残りは f の項だけです。
E = \displaystyle\int_0^{2\pi} f(\cos x)\cos x\,dx とおきます。示すべきことは 0 \leqq E \leqq 4M です。
f は増える奇関数ですから、\theta \geqq 0 で f(\theta) \geqq 0、\theta \leqq 0 で f(\theta) \leqq 0 です。つまり f(\theta) と \theta は同じ符号なので、f(\cos x)\cos x \geqq 0 がすべての x で成り立ちます。よって E \geqq 0 です。
上からは、-1 \leqq \cos x \leqq 1 の範囲で f の値が m 以上 M 以下、m = -M ですから f(\cos x)\cos x \leqq M|\cos x| です。
\displaystyle\int_0^{2\pi} |\cos x|dx = 4 ですから E \leqq 4M です。合わせて \dfrac{7}{8}\pi \leqq \displaystyle\int_0^{2\pi} \sin(\cos x - x)dx \leqq \dfrac{7}{8}\pi + 4M が示せました。実際の値はおよそ 2.7649 で、\dfrac{7}{8}\pi = 2.7489 と \dfrac{7}{8}\pi + 4M = 2.7814 のあいだにあります。