座標空間内の 点 , , , を考える。
(1) , , を満たす点 の座標を求めよ。
(2) 点 から直線 に垂線を下ろし，その垂線と直線 の交点を とする。 を と を用いて表せ。
(3) 点 を により定め， を中心とする半径 の球面 を考える。 が三角形 と共有点を持つような の範囲を求めよ。ただし，三角形 は 点 , , を含む平面内にあり，周とその内部からなるものとする。
とおきます。 は ですから です。
は で， と合わせて となります。これで向きが決まり，残る つの条件が長さを決めます。
から , です。よって です。
は とも とも垂直なので，, , を含む平面に垂直です。(3) でここが効きます。
直線 上の点は と書けます。成分では です。
これを とすると です。これが と垂直になる を探します。
ですから です。
よって です。成分では になります。
ですから です。球面が三角形と出会うかどうかは， から三角形までの距離だけで決まります。
, , は，どれも 座標と 座標が等しくなっています。三角形 は平面 の上にあります。
そこで三角形の上の点を と書きます。すると となります。
と で の 次の項が打ち消し合い， と が別々になりました。あとは の動く範囲でこれを最小最大にするだけです。
の動く範囲は，, , を頂点とする三角形です。
が になる は，この三角形の外にあります（三角形の中で は までしか大きくなりません）。だから最小は辺の上で起きます。
辺 は で， となり で です。辺 は で まで，辺 は で までしか下がりません。最小値は です。
最大は下に凸な式なので頂点で取ります。 で ， で ， で ですから です。距離は切れ目なく変わるので， がそのまま答えになります。