定数 , , , , に対し，
が についての恒等式であるとする。
(1) であるとき，, を , で表せ。
(2) とする。, が定数 を用いて
と表されているとき，有理数を係数とする についての整式 と で
を満たすものを 組求めよ。
(3) を整数とする。 の 次式
が有理数を係数とする 次式の積に因数分解できるような をすべて求めよ。
右辺を展開します。 の項は と で消えます。左辺に がないことと合っています。
の係数は 、 の係数は 、定数項は です。
左辺と比べて 、、 の つが出ます。
前の つは と を与えているので、足し引きすれば 、 です。これが (1) の答えです。
残った に入れます。 ですから です。
は 乗と 乗でしか出てきません。 と置くと という 次方程式になります。
、 を入れます。、 です。
式は となります。 が何度も顔を出します。
を入れてみます。 でくくると、残るのは です。
ですから、たしかに根です。
そこで で割ります。商は です。
よって 、 が (2) の答えです。どちらも整数を係数に持ちます。
因数分解できるとは、, , が有理数に取れるということです。 も有理数で、しかも正です。
のほうは、 解の和が 、積が ですから、正の解を持ちません。
だから です。 が有理数になるのは が平方数のときで、 が整数なら から に限られます。
の場合も見ておきます。、つまり が要りますが、そのとき で となり実数の がありません。答えは だけです。