一橋大学 2026 年・第 1 問

|x^2-7x+1| = y^2 は、x^2-7x+1 = y^2 または x^2-7x+1 = -y^2 ということです。どちらも 4 倍すると、左辺は 4x^2-28x+4 = (2x-7)^2-45 と平方完成した形になる。

X = 2x-7、Y = 2y とおくと、1 つ目は X^2-Y^2 = 45、2 つ目は X^2+Y^2 = 45 に変わります。X は奇数、Y は正の偶数で、この 2 つの曲線に乗る点を探す。

X^2-Y^2 = 45 は (X-Y)(X+Y) = 45 と書けます。u = X-Y、v = X+Y とおくと、Y > 0 から u < v で、X が奇数、Y が偶数だから u と v はどちらも奇数になる。

積が 45 になる組は、(u,\ v) = (1,\ 45)、(3,\ 15)、(5,\ 9)、(-45,\ -1)、(-15,\ -3)、(-9,\ -5) の 6 通りです。

Y = \dfrac{v-u}{2} が偶数になるには、v-u が 4 の倍数でなければならない。差は 44、12、4 とどれも 4 の倍数で、y = \dfrac{v-u}{4} は 11、3、1 です。

X = \dfrac{u+v}{2} で、x = \dfrac{X+7}{2} は順に 15、8、7、-8、-1、0 になる。どの組でも x^2-7x+1 = y^2 が成り立ちます。

Y は正の偶数で Y^2 < 45 だから、Y = 2、4、6 に限られます。X^2 = 45-Y^2 は順に 41、29、9 で、平方数は 9 だけ。

X = \pm 3 から 2x-7 = \pm 3 で x = 5、2、Y = 6 から y = 3 となる。x = 2 でも x = 5 でも x^2-7x+1 = -9 で、絶対値が 9 = 3^2 になっています。

合わせると、(x,\ y) = (-8,\ 11)、(-1,\ 3)、(0,\ 1)、(2,\ 3)、(5,\ 3)、(7,\ 1)、(8,\ 3)、(15,\ 11) の 8 組です。

x^2-7x+1 は x を 7-x におきかえても値が変わらない。答えも x と 7-x が組になり、-8 と 15、-1 と 8、0 と 7、2 と 5 が同じ y をもちます。