余りは掛け算で決まる

です。約数は（, , ）の形で、全部で個あります。の倍数はないので、どれもで割ってか余ります。

で割った余りは掛け算のたびに掛け合わされます。, , ですから、です。は余りを変えません。

つまりが偶数なら余り、奇数なら余ります。はの個が偶数での個が奇数、はの個が偶数での個が奇数です。

が偶数なのは通り、奇数なのは通りです。は通りとも余りを変えないので、, です。

を素因数ごとの積にする

一般のでも同じ見方をします。の倍数である約数はどちらにも数えないので、からの因数を落とした部分だけを考えれば足ります。

そこでを含まないをと書きます。はで割って余る素数、は余る素数です。約数はで、余りはです。

約数を余るなら、余るならと数えると、その合計がちょうどです。指数を独立に動かせるので、合計は素因数ごとの和の積になります。

からは、からはが出ます。後者はが偶数なら、奇数ならです。

よってです。ここではが偶数なら、奇数ならです。

前の積は正の整数、後ろの積はかです。ですからは以上であり、が示せました。

で割って余る素数の指数がつでも奇数なら、そうでなければです。で確かめると、で割って余る素数は（指数）と（指数）でどちらも偶数、余る素数は（指数）だけですから、差はです。と合っています。

なおは、の因数を落とした部分の約数の個数そのものです。この和と差からとが決まります。

, とおきます。で、はすべてのが偶数なら、つでも奇数ならです。

すべて偶数のときはがどれも奇数なのでは奇数です。からで、は偶数ですからはのどれかです。

このときなので、に対してとなります。は、はのように作れ、はの指数で好きな正の整数にできます。

に奇数があるときはで、かつが偶数であればよく、たとえばが当たります。以上よりのとりうる値はです。