東京大学理系 2026 年・第 6 問

2800 = 2^4 \cdot 5^2 \cdot 7 です。約数は 2^a 5^b 7^c（0 \leqq a \leqq 4, 0 \leqq b \leqq 2, 0 \leqq c \leqq 1）の形で、全部で 5 \cdot 3 \cdot 2 = 30 個あります。3 の倍数はないので、どれも 3 で割って 1 か 2 余ります。

3 で割った余りは掛け算のたびに掛け合わされます。2 \equiv -1, 5 \equiv -1, 7 \equiv 1 \pmod 3 ですから、2^a5^b7^c \equiv (-1)^{a+b} です。7 は余りを変えません。

つまり a+b が偶数なら 1 余り、奇数なら 2 余ります。a は 0,\ 2,\ 4 の 3 個が偶数で 1,\ 3 の 2 個が奇数、b は 0,\ 2 の 2 個が偶数で 1 の 1 個が奇数です。

a+b が偶数なのは 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 8 通り、奇数なのは 3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 7 通りです。c は 2 通りとも余りを変えないので、f(2800) = 16, g(2800) = 14 です。

一般の n でも同じ見方をします。3 の倍数である約数はどちらにも数えないので、n から 3 の因数を落とした部分だけを考えれば足ります。

そこで 3 を含まない n を n = q_1^{b_1} \cdots q_s^{b_s} \cdot r_1^{c_1} \cdots r_t^{c_t} と書きます。q_i は 3 で割って 1 余る素数、r_j は 2 余る素数です。約数は \prod q_i^{\beta_i} \prod r_j^{\gamma_j} で、余りは (-1)^{\gamma_1+\cdots+\gamma_t} です。

約数を 1 余るなら +1、2 余るなら -1 と数えると、その合計がちょうど f(n)-g(n) です。指数を独立に動かせるので、合計は素因数ごとの和の積になります。

q_i からは \sum_{\beta=0}^{b_i} 1 = b_i+1、r_j からは \sum_{\gamma=0}^{c_j}(-1)^{\gamma} が出ます。後者は c_j が偶数なら 1、奇数なら 0 です。

よって f(n)-g(n) = \left(\prod_i (b_i+1)\right) \times \left(\prod_j \varepsilon_j\right) です。ここで \varepsilon_j は c_j が偶数なら 1、奇数なら 0 です。

前の積は正の整数、後ろの積は 0 か 1 です。ですから f(n)-g(n) は 0 以上であり、f(n) \geqq g(n) が示せました。

3 で割って 2 余る素数の指数が 1 つでも奇数なら f(n) = g(n)、そうでなければ f(n) > g(n) です。2800 で確かめると、3 で割って 2 余る素数は 2（指数 4）と 5（指数 2）でどちらも偶数、1 余る素数は 7（指数 1）だけですから、差は 1+1 = 2 です。16-14 = 2 と合っています。

なお f(n)+g(n) は、3 の因数を落とした部分の約数の個数そのものです。この和と差から f と g が決まります。

A = \prod_i (b_i+1), B = \prod_j (c_j+1) とおきます。f+g = AB で、f-g はすべての c_j が偶数なら A、1 つでも奇数なら 0 です。

すべて偶数のときは c_j+1 がどれも奇数なので B は奇数です。g = \dfrac{AB-A}{2} = \dfrac{A(B-1)}{2} = 15 から A(B-1) = 30 で、B-1 は偶数ですから B-1 は 2,\ 6,\ 10,\ 30 のどれかです。

このとき f = \dfrac{A(B+1)}{2} なので、(B,\ A) = (3,\ 15),\ (7,\ 5),\ (11,\ 3),\ (31,\ 1) に対して f = 30,\ 20,\ 18,\ 16 となります。B = 3 は r^2、B = 31 は r^{30} のように作れ、A は q の指数で好きな正の整数にできます。

c_j に奇数があるときは f = g = 15 で、AB = 30 かつ B が偶数であればよく、たとえば n = q^{14}r が当たります。以上より f(n) のとりうる値は 15,\ 16,\ 18,\ 20,\ 30 です。