辺を共有しないのは向かい合う 2 面だけ

立方体の面はつです。どの面もつの面と辺を共有し、向かい合う面とだけ共有しません。

そこで面を、向かい合う面ずつ組に分けます。組をまたいだ面はかならず辺を共有し、同じ組の面はけっして共有しません。

つまり条件は「組のあいだで色がつも重ならない」ことと同じです。同じ組の中は、同じ色でも違う色でもかまいません。

数えるのは立方体の塗り方ではなく、組への色の配り方になりました。

色では色使う組がつまで

色を使う組は、それだけで色を占めます。組どうしで色が重ならないので、色使う組が組あれば、全部で色を使うことになります。

色は色しかないので、つまりはかです。

のときはどの組も色で、組へ異なる色を配るので通りです。

のときは色使う組の選び方が通り、色の置き方が通りで、合わせて通りです。

足すと通り。塗り方は全部で通りですから、です。

色使う組が組のとき、使う色は色で、どれも異なります。置く場所は決まっているので、色の置き方は通りです。

組の選び方を掛けてを足すと、でくくれます。

残った角括弧の中はとおくとです。

を戻すととなり、です。を入れるとで、さきほどと合います。

分子はの次式で、最高次の係数はです。分母もですから、比はへ近づきます。

式を出さずに済ませることもできます。面すべてを異なる色で塗れば条件は自動的に満たされるので、です。

右辺はで、でに近づきます。

と合わせ、はさみうちの原理からです。色が増えれば隣が同じ色になるほうが珍しくなる、という当たり前のことを式が言っています。