座標平面上に原点を中心とする半径 3 の円 C_1 がある。また，直線 x = 2 上の点 \mathrm{P} を中心とする半径 1 の円を C_2 とする。
(1) C_1 と C_2 が共有点を 2 つもつような \mathrm{P} の y 座標の範囲を求めよ。
(2) C_1 と C_2 が共有点を 2 つもつとき，その 2 つの共有点を通る直線を l とする。l に関して \mathrm{P} と対称な位置にある点を \mathrm{Q} とする。ただし，\mathrm{P} が l 上にあるときは \mathrm{Q} = \mathrm{P} とする。\mathrm{P} の y 座標が (1) で求めた範囲を動くとき，点 \mathrm{Q} の軌跡を求め，図示せよ。
\mathrm{P}(2,\ t) とおきます。半径 3 と 1 の 2 つの円が共有点を 2 つもつのは、中心どうしの距離が半径の差 2 より大きく、和 4 より小さいときです。
\mathrm{OP} = \sqrt{4+t^2} だから 2 < \sqrt{4+t^2} < 4 で、0 < t^2 < 12 となる。\mathrm{P} の y 座標の範囲は -2\sqrt{3} < t < 0、0 < t < 2\sqrt{3} です。
C_1 は x^2+y^2 = 9、C_2 は (x-2)^2+(y-t)^2 = 1 です。2 つの式を引くと 2 乗の項が消えて 4x+2ty = t^2+12 が残り、2 つの共有点はどちらもこの式をみたす。これが l の式になる。
l の x、y の係数 (4,\ 2t) は \vec{\mathrm{OP}} = (2,\ t) の 2 倍で、l は直線 \mathrm{OP} に垂直です。\mathrm{P} を l について折り返した \mathrm{Q} も、直線 \mathrm{OP} の上にある。
r = \mathrm{OP} = \sqrt{4+t^2} とおくと、t^2+12 = r^2+8 です。\mathrm{O} から l までの距離は \dfrac{t^2+12}{\sqrt{16+4t^2}} = \dfrac{r^2+8}{2r} で、l は直線 \mathrm{OP} と、\mathrm{O} からこの距離のところで交わる。
\mathrm{Q} はこの交点について \mathrm{P} と反対の側にあり、\mathrm{OQ} = 2 \cdot \dfrac{r^2+8}{2r}-r = \dfrac{8}{r} となります。\mathrm{OQ} > 0 で \mathrm{P} と同じ向きにあるから、\mathrm{Q} = \left(\dfrac{16}{4+t^2},\ \dfrac{8t}{4+t^2}\right) です。
t = \pm 2 では \mathrm{OP} = 2\sqrt{2} で \mathrm{P} が l の上にあり、式の値も \mathrm{Q} = \mathrm{P} に合う。
X = \dfrac{16}{4+t^2}、Y = \dfrac{8t}{4+t^2} とおくと X^2+Y^2 = \dfrac{64}{4+t^2} = 4X で、(X-2)^2+Y^2 = 4 が成り立ちます。\mathrm{Q} は中心 (2,\ 0)、半径 2 の円の上にある。
0 < t^2 < 12 では X は 1 < X < 4 の範囲を動き、Y の符号は t と同じです。t が 0 に近づくと \mathrm{Q} は点 (4,\ 0) に近づくが、t = 0 は範囲に入らない。
軌跡は円 (x-2)^2+y^2 = 4 のうち 1 < x < 4 の部分で、両端の点 (1,\ \pm\sqrt{3}) と点 (4,\ 0) は含まない。