座標平面上に原点を中心とする半径 の円 がある。また，直線 上の点 を中心とする半径 の円を とする。
(1) と が共有点を つもつような の 座標の範囲を求めよ。
(2) と が共有点を つもつとき，その つの共有点を通る直線を とする。 に関して と対称な位置にある点を とする。ただし， が 上にあるときは とする。 の 座標が (1) で求めた範囲を動くとき，点 の軌跡を求め，図示せよ。
とおきます。半径 と の つの円が共有点を つもつのは、中心どうしの距離が半径の差 より大きく、和 より小さいときです。
だから で、 となる。 の 座標の範囲は 、 です。
は 、 は です。 つの式を引くと 乗の項が消えて が残り、 つの共有点はどちらもこの式をみたす。これが の式になる。
の 、 の係数 は の 倍で、 は直線 に垂直です。 を について折り返した も、直線 の上にある。
とおくと、 です。 から までの距離は で、 は直線 と、 からこの距離のところで交わる。
はこの交点について と反対の側にあり、 となります。 で と同じ向きにあるから、 です。
では で が の上にあり、式の値も に合う。
、 とおくと で、 が成り立ちます。 は中心 、半径 の円の上にある。
では は の範囲を動き、 の符号は と同じです。 が に近づくと は点 に近づくが、 は範囲に入らない。
軌跡は円 のうち の部分で、両端の点 と点 は含まない。