次の各問いに答えよ。
(1) i は虚数単位とする。複素数 z が，絶対値が 2 である複素数全体を動くとき，|z-\dfrac{i}{z}| の最大値と最小値を求めよ。
(2) 次の定積分の値を求めよ。
(i) \displaystyle\int_0^{\sqrt{3}}\dfrac{x\sqrt{x^2+1}+2x^3+1}{x^2+1}\,dx
(ii) \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}}\,dx
|z| = 2 から z\bar{z} = 4 です。両辺を 4z で割ると \dfrac{1}{z} = \dfrac{\bar{z}}{4} で、\dfrac{i}{z} = \dfrac{i\bar{z}}{4} と書きかえられます。
z = 2(\cos\theta+i\sin\theta) とおくと i\bar{z} = 2(\sin\theta+i\cos\theta) となる。\sin\theta = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)、\cos\theta = \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right) だから、i\bar{z} の偏角は \dfrac{\pi}{2}-\theta です。
\dfrac{i}{z} は、原点を中心とする半径 \dfrac{1}{2} の円の上で、偏角 \dfrac{\pi}{2}-\theta の位置にある。z が左回りに進むと、\dfrac{i}{z} は右回りに進みます。
w = z-\dfrac{i}{z} とおきます。|w| は、複素数平面の 2 点 z と \dfrac{i}{z} を結ぶ線分の長さです。
原点から z までは 2、原点から \dfrac{i}{z} までは \dfrac{1}{2} で、原点とこの 2 点を結ぶと |w| は残りの 1 辺になる。三角形の 1 辺はほかの 2 辺の差以上、和以下だから、\dfrac{3}{2} \leqq |w| \leqq \dfrac{5}{2} です。
等号が成り立つのは、3 点が一直線に並ぶときに限ります。そうなる z があれば、\dfrac{3}{2} と \dfrac{5}{2} がそのまま最小値と最大値になる。
2 点が原点から同じ向きにあるとき、距離は 2-\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} です。偏角をそろえる \theta = \dfrac{\pi}{2}-\theta から \theta = \dfrac{\pi}{4} で、z = \sqrt{2}+\sqrt{2}i のときにあたる。
逆向きになるのは、偏角の差 \theta-\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right) が \pi のときです。\theta = \dfrac{3}{4}\pi、z = -\sqrt{2}+\sqrt{2}i で、距離は 2+\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2} になります。
余弦定理で計算しても同じ値に決まる。2 点を見込む角は 2\theta-\dfrac{\pi}{2} で、|w|^2 = 4+\dfrac{1}{4}-2\sin 2\theta です。\sin 2\theta が 1 と -1 のときの \dfrac{9}{4} と \dfrac{25}{4} から、最小値 \dfrac{3}{2}、最大値 \dfrac{5}{2} となる。
分子の 3 つの項を、分母の x^2+1 で 1 つずつ割ります。\dfrac{x\sqrt{x^2+1}}{x^2+1} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} です。2x^3 = 2x(x^2+1)-2x から \dfrac{2x^3}{x^2+1} = 2x-\dfrac{2x}{x^2+1} となる。
被積分関数は \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}+2x-\dfrac{2x}{x^2+1}+\dfrac{1}{x^2+1} の 4 項に分かれます。前の 3 項は、\sqrt{x^2+1}、x^2、\log(x^2+1) をそれぞれ微分した形です。
0 から \sqrt{3} まで積分すると、前の 3 項は 2-1 = 1、3、-\log 4 になる。最後の項は x = \tan\theta とおくと、dx = \dfrac{d\theta}{\cos^2\theta} と \dfrac{1}{x^2+1} = \cos^2\theta が打ち消し合い、\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}}d\theta = \dfrac{\pi}{3} です。
1+3-\log 4+\dfrac{\pi}{3} を整理して、値は 4+\dfrac{\pi}{3}-2\log 2 となります。
半角の公式から 1-\cos x = 2\sin^2\dfrac{x}{2}、1+\cos x = 2\cos^2\dfrac{x}{2} です。割ると 2 が消えて、根号の中は \tan^2\dfrac{x}{2} になる。
0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2} のとき \dfrac{x}{2} は 0 から \dfrac{\pi}{4} までを動き、\tan\dfrac{x}{2} \geqq 0 です。根号を外すと \tan\dfrac{x}{2} がそのまま残ります。
\left(\log\cos\dfrac{x}{2}\right)' = -\dfrac{1}{2}\tan\dfrac{x}{2} だから、原始関数は -2\log\cos\dfrac{x}{2} です。x = \dfrac{\pi}{2} では \cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}、x = 0 では \cos 0 = 1 を入れて、値は -2\log\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \log 2 となる。