平面上を次の規則(i)，(ii)に従って移動する点 を考える。
(i) 時刻 で点 は原点にある。
(ii) ある時刻において点 が にあるとき，時刻が 増えると点 は 点 ，， のいずれかにそれぞれ の確率で移動する。
以上の整数 に対して，次の条件(＊)が成り立つ確率を とする。
(＊) 時刻 から時刻 まで点 はつねに で定まる領域にある。
このとき，以下の問いに答えよ。
(1) ，， を求めよ。
(2) 以上の整数 に対して，条件(＊)が成り立ちかつ時刻 で点 が直線 上にある確率を とする。また，条件(＊)が成り立ちかつ時刻 で点 が直線 上または直線 上にある確率を とする。， を ， を用いて表せ。
(3) を ， を用いて表せ。
(4) とおくとき， が 以上のすべての整数 に対して成り立つことを証明せよ。
とおくと、 通りの移動で は 、、 だけ変わり、どれも確率は です。条件(＊)は、時刻 から まで が 、、 のどれかにとどまることと同じになる。
からはどう動いても範囲に残り、 からは の確率で外へ出る。時刻 で だから で、 回目に外へ出るのは 回目に へ動いた のうちの なので、 です。
時刻 で にいる確率は 、 にいる確率は になる。 回目に外へ出るのはこの のうちの だから、。
時刻 で にいるのは、時刻 で にいて を変えない移動をしたときと、 にいて の側へ動いたときです。どちらも確率は で、 となる。
時刻 で にいる確率は、 から のどちらかへ動く と、 にいて を変えない を合わせて、 です。
から外へ出る の分は、どちらの式にも数えない。
で、(2) の つの式を足すと です。 を つ進めた に (2) を代入すると、 となる。
となる 、 を係数の比較で求めると、、。これで が得られます。
を代入すると で、(1) の値と一致する。
は の解で、 を満たします。(3) の漸化式と同じ係数 、 がここにも現れる。
、 では 、 が成り立つ。 は と同じで、両辺を 乗した から正しいとわかります。
と を仮定する。(3) の係数はどちらも正だから、 です。
と で成り立てば でも成り立つため、、 から順に、 以上のすべての整数 で が成り立つ。