以下の問いに答えよ。
(1) を満たす正の整数の組 を つ求めよ。なお，解答は答えのみでよい。
(2) を満たす正の整数の組 は無数に存在することを示せ。
(3) 正の整数の組 は を満たすとする。このとき， および は偶数であることを示せ。さらに，もし と が偶数ならば は の倍数であることを示せ。
を代入すると、左辺は 、右辺は で等式が成り立ちます。(1) の答えの つがこの組。
どの項も 乗の形なので、、、 を同時に 倍すると両辺はともに 倍になり、等式は保たれる。
正の整数 ごとに は別の組になるため、条件を満たす組は無数にあります。
等式を と書くと、 は偶数です。 乗しても偶奇は変わらないから、 と は偶奇がそろい、 は偶数になる。
差の も偶数となるため、右辺を因数分解した は の倍数。
両辺を で割ると は偶数になり、 も偶数です。
と が偶数のとき、 も偶数だから 、、 と書けます。、、 はどれも正の整数。
代入すると で、両辺を で割れば次の式になる。
も同じ等式を満たす正の整数の組で、(3) の前半をあてはめると は偶数になる。したがって は の倍数です。