以下の問いに答えよ。
(1) a^2 + 2b^2 = c^2 を満たす正の整数の組 (a,\ b,\ c) を 1 つ求めよ。なお，解答は答えのみでよい。
(2) a^2 + 2b^2 = c^2 を満たす正の整数の組 (a,\ b,\ c) は無数に存在することを示せ。
(3) 正の整数の組 (a,\ b,\ c) は a^2 + 2b^2 = c^2 を満たすとする。このとき，a + c および b は偶数であることを示せ。さらに，もし a と c が偶数ならば b は 4 の倍数であることを示せ。
(a,\ b,\ c) = (1,\ 2,\ 3) を代入すると、左辺は 1 + 8 = 9、右辺は 3^2 = 9 で等式が成り立ちます。(1) の答えの 1 つがこの組。
どの項も 2 乗の形なので、a、b、c を同時に k 倍すると両辺はともに k^2 倍になり、等式は保たれる。
k^2 + 2(2k)^2 = 9k^2 = (3k)^2
正の整数 k ごとに (k,\ 2k,\ 3k) は別の組になるため、条件を満たす組は無数にあります。
等式を 2b^2 = c^2 - a^2 と書くと、c^2 - a^2 は偶数です。2 乗しても偶奇は変わらないから、a と c は偶奇がそろい、a + c は偶数になる。
差の c - a も偶数となるため、右辺を因数分解した (c - a)(c + a) は 4 の倍数。
2b^2 = (c - a)(c + a)
両辺を 2 で割ると b^2 は偶数になり、b も偶数です。
a と c が偶数のとき、b も偶数だから a = 2a'、b = 2b'、c = 2c' と書けます。a'、b'、c' はどれも正の整数。
代入すると 4a'^2 + 8b'^2 = 4c'^2 で、両辺を 4 で割れば次の式になる。
a'^2 + 2b'^2 = c'^2
(a',\ b',\ c') も同じ等式を満たす正の整数の組で、(3) の前半をあてはめると b' は偶数になる。したがって b = 2b' は 4 の倍数です。