a は 1 より大きい実数とし，k は実数とする。0 < x < 1 において定義された関数を，f(x) = \dfrac{1}{x^2\left(\log\dfrac{a}{x}\right)^2} とおく。y = f(x) と y = k のグラフの共有点がちょうど 2 個存在するような実数の組 (a,\ k) の集合を，座標平面上に図示せよ。ただし \log x は自然対数とする。また，\displaystyle\lim_{x \to +0}x\log x = 0 が成り立つことを証明なしに用いてよい。
0 < x < 1 と a > 1 から \dfrac{a}{x} > 1 で、\log\dfrac{a}{x} > 0 です。g(x) = x\log\dfrac{a}{x} とおくと g(x) > 0 で、f(x) = \dfrac{1}{g(x)^2} と書ける。
k \leqq 0 なら f(x) = k に解はありません。k > 0 のとき、f(x) = k は g(x) = \dfrac{1}{\sqrt{k}} と同じ条件になります。
共有点の個数は、y = g(x) と x 軸に平行な直線 y = \dfrac{1}{\sqrt{k}} の共有点の個数に等しい。
g(x) = x\log a-x\log x を微分すると g'(x) = \log a-\log x-1 = \log\dfrac{a}{ex} です。g'(x) = 0 となるのは x = \dfrac{a}{e} のときに限る。
x \to +0 では x\log a \to 0 と x\log x \to 0 から g(x) \to 0 です。x \to 1 では g(x) \to \log a で、x = 1 は範囲に入らないため、この値そのものはとらない。
a \geqq e なら \dfrac{a}{e} \geqq 1 で、0 < x < 1 ではつねに g'(x) > 0 です。g は増える一方で、どの高さの直線とも 1 回までしか交わらず、共有点が 2 個になることはない。
1 < a < e では \dfrac{1}{e} < \dfrac{a}{e} < 1 で、g は x = \dfrac{a}{e} まで増え、そのあと減る。最大値は g\left(\dfrac{a}{e}\right) = \dfrac{a}{e}\log e = \dfrac{a}{e} です。
右端に近づく値 \log a は、最大値 \dfrac{a}{e} より小さい。\varphi(a) = \dfrac{a}{e}-\log a は \varphi'(a) = \dfrac{1}{e}-\dfrac{1}{a} < 0 で減り、\varphi(e) = 0 だから、a < e では \varphi(a) > 0 になります。
直線 y = c が y = g(x) と 2 回交わるのは、\log a < c < \dfrac{a}{e} のときです。c \leqq \log a では増える側でしか交わらず、c = \dfrac{a}{e} では最大値をとる 1 点だけで交わる。
c = \dfrac{1}{\sqrt{k}} に戻します。\log a < \dfrac{1}{\sqrt{k}} < \dfrac{a}{e} は各辺が正だから、逆数をとると \dfrac{e}{a} < \sqrt{k} < \dfrac{1}{\log a} で、2 乗して \dfrac{e^2}{a^2} < k < \dfrac{1}{(\log a)^2} となる。
求める集合は、1 < a < e で 2 つの曲線 k = \dfrac{e^2}{a^2} と k = \dfrac{1}{(\log a)^2} にはさまれた部分です。境界の曲線は含みません。
a \to 1 で上の曲線は限りなく大きくなり、a = e では 2 つの曲線がともに点 (e,\ 1) を通る。そこでの傾きもどちらも -\dfrac{2}{e} で、2 曲線は点 (e,\ 1) で接しています。