は より大きい実数とし， は実数とする。 において定義された関数を， とおく。 と のグラフの共有点がちょうど 個存在するような実数の組 の集合を，座標平面上に図示せよ。ただし は自然対数とする。また， が成り立つことを証明なしに用いてよい。
と から で、 です。 とおくと で、 と書ける。
なら に解はありません。 のとき、 は と同じ条件になります。
共有点の個数は、 と 軸に平行な直線 の共有点の個数に等しい。
を微分すると です。 となるのは のときに限る。
では と から です。 では で、 は範囲に入らないため、この値そのものはとらない。
なら で、 ではつねに です。 は増える一方で、どの高さの直線とも 回までしか交わらず、共有点が 個になることはない。
では で、 は まで増え、そのあと減る。最大値は です。
右端に近づく値 は、最大値 より小さい。 は で減り、 だから、 では になります。
直線 が と 回交わるのは、 のときです。 では増える側でしか交わらず、 では最大値をとる 点だけで交わる。
に戻します。 は各辺が正だから、逆数をとると で、 乗して となる。
求める集合は、 で つの曲線 と にはさまれた部分です。境界の曲線は含みません。
で上の曲線は限りなく大きくなり、 では つの曲線がともに点 を通る。そこでの傾きもどちらも で、 曲線は点 で接しています。