を原点とする座標平面上で考える。座標平面上の 点 , に対し，点 が点 から十分離れているとは，
または
が成り立つことと定義する。
不等式 , が表す正方形の領域を とし，その つの頂点 , を考える。さらに，次の条件 (i), (ii) をともに満たす点 をとる。
(i) 点 は領域 の点であり，かつ，放物線 上にある。
(ii) 点 は， 点 , , のいずれからも十分離れている。
点 の 座標を とする。
(1) のとりうる値の範囲を求めよ。
(2) 次の条件 (iii), (iv) をともに満たす点 が存在しうる範囲の面積 を求めよ。
(iii) 点 は領域 の点である。
(iv) 点 は， 点 , , , のいずれからも十分離れている。
(3) は (1) で求めた範囲を動くとする。(2) の を最小にする の値を求めよ。
「十分離れている」の否定を見ます。 かつ 、つまり相手が自分を中心とする 辺 の正方形の内側にいる、ということです。
ですから点のまわりには、他の点を置けない正方形の穴が開きます。 の動ける範囲は、 から穴を取り除いた残りです。
, , は の角にあるので、穴は角に 辺 の正方形として現れます。面積はそれぞれ です。
この つの穴はたがいに離れていて重なりません。動くのは の穴だけで、それがどこと重なるかで面積が決まります。
が にあるので かつ 、つまり です。
から十分離れている条件は または です。 ではどちらも と同じことですから、これが効きます。
と については、横の差が 、つまり であれば足ります。 ですから、こちらは自動的に成り立ちます。
よって (1) の答えは です。 は放物線の上を、 から まで動きます。
の穴は 、 です。横は かつ で に収まり、幅は です。
縦は が を超えると の外へはみ出して切れます。切れるのは のときで、高さは になります。
の穴との重なりは、横が 、縦が です。縦は で になり、重なりが消えます。
の穴とは横が 、縦は同じく 。 の穴とは横が 、縦は で、 では で頭打ちです。
のとき。穴の和は です。
前の つは でくくれて、 ですから に縮みます。整理すると和は で、 です。
のとき。 の穴は縦が に切れ、 と の穴からは離れます。残る重なりは との だけです。
和は で、 です。 ではどちらの式も になり、つながっています。
前半の を微分すると です。 でも ですから、 ではずっと減ります。
後半の を微分すると で、こちらは正ですから増える一方です。
つまり は まで減って、そこから増えます。最小にする は です。
そのときの値は です。 の穴の上端がちょうど の上辺に届く位置で、いちばん広く隠せます。