座標空間の 点 ，，， は同一平面上にないとする。線分 の中点を ，線分 の中点を とする。実数 ， に対して，直線 上の点 と，直線 上の点 を次のように定める。
，
このとき，直線 と直線 がねじれの位置にあるための ， に関する必要十分条件を求めよ。
，， とおきます。 点が同一平面上にないので、この つは 次独立です。
中点は 、 です。
は 、 は です。
を動かすと が直線 を、 を動かすと が直線 を走ります。 本の直線がそれにつれて動きます。
空間の異なる 直線の位置関係は、交わる・平行・ねじれの つしかありません。前の つは同じ平面に乗り、ねじれだけが乗りません。
ですから 点 ，，， が同一平面上にある条件を出し、それを否定すれば答えになります。
その前に、 本がいつも直線として決まることを見ておきます。 なら 、 なら となり、どちらも 次独立に反します。
と がどんな実数でも、 と は直線として定まります。
点が同一平面上にあることは、 を満たす実数 ， があることと同じです。
、、 です。
書き並べると となります。
次独立だから係数を比べられます。 から 、 から 、 から が出ます。 と はいつでも取れるので、残る条件は だけです。
同一平面上にある条件が でしたから、ねじれの位置にあるための必要十分条件は です。
のとき何が起きているかも見ておきます。 と が平行になるのは のときだけです。
そこでは 直線は平行で、 は 上にないので重なりません。
でそれ以外なら、 直線は同じ平面に乗って平行でないので交わります。 なら も も に重なり、交点が だと目で見えます。