京都大学理系 2024 年・第 3 問

\vec{a} = \vec{\mathrm{OA}}，\vec{b} = \vec{\mathrm{OB}}，\vec{c} = \vec{\mathrm{OC}} とおきます。4 点が同一平面上にないので、この 3 つは 1 次独立です。

中点は \vec{\mathrm{OP}} = \dfrac{1}{2}\vec{a}、\vec{\mathrm{OQ}} = \dfrac{1}{2}\vec{a}+\dfrac{1}{2}\vec{b} です。

\mathrm{X} は \vec{\mathrm{OX}} = x\vec{c}、\mathrm{Y} は \vec{\mathrm{OY}} = \vec{b}+y(\vec{c}-\vec{b}) = (1-y)\vec{b}+y\vec{c} です。

x を動かすと \mathrm{X} が直線 \mathrm{OC} を、y を動かすと \mathrm{Y} が直線 \mathrm{BC} を走ります。2 本の直線がそれにつれて動きます。

空間の異なる 2 直線の位置関係は、交わる・平行・ねじれの 3 つしかありません。前の 2 つは同じ平面に乗り、ねじれだけが乗りません。

ですから 4 点 \mathrm{P}，\mathrm{Q}，\mathrm{X}，\mathrm{Y} が同一平面上にある条件を出し、それを否定すれば答えになります。

その前に、2 本がいつも直線として決まることを見ておきます。\mathrm{P} = \mathrm{X} なら \dfrac{1}{2}\vec{a} = x\vec{c}、\mathrm{Q} = \mathrm{Y} なら \dfrac{1}{2}\vec{a} = \vec{0} となり、どちらも 1 次独立に反します。

x と y がどんな実数でも、\mathrm{PX} と \mathrm{QY} は直線として定まります。

4 点が同一平面上にあることは、\vec{\mathrm{PY}} = s\vec{\mathrm{PQ}}+t\vec{\mathrm{PX}} を満たす実数 s，t があることと同じです。

\vec{\mathrm{PQ}} = \dfrac{1}{2}\vec{b}、\vec{\mathrm{PX}} = -\dfrac{1}{2}\vec{a}+x\vec{c}、\vec{\mathrm{PY}} = -\dfrac{1}{2}\vec{a}+(1-y)\vec{b}+y\vec{c} です。

書き並べると -\dfrac{1}{2}\vec{a}+(1-y)\vec{b}+y\vec{c} = -\dfrac{t}{2}\vec{a}+\dfrac{s}{2}\vec{b}+tx\vec{c} となります。

1 次独立だから係数を比べられます。\vec{a} から t = 1、\vec{b} から s = 2(1-y)、\vec{c} から y = tx = x が出ます。s と t はいつでも取れるので、残る条件は x = y だけです。

同一平面上にある条件が x = y でしたから、ねじれの位置にあるための必要十分条件は x \neq y です。

x = y のとき何が起きているかも見ておきます。\vec{\mathrm{PX}} と \vec{\mathrm{QY}} = -\dfrac{1}{2}\vec{a}+\left(\dfrac{1}{2}-y\right)\vec{b}+y\vec{c} が平行になるのは x = y = \dfrac{1}{2} のときだけです。

そこでは 2 直線は平行で、\mathrm{P} は \mathrm{QY} 上にないので重なりません。

x = y でそれ以外なら、2 直線は同じ平面に乗って平行でないので交わります。x = y = 1 なら \mathrm{X} も \mathrm{Y} も \mathrm{C} に重なり、交点が \mathrm{C} だと目で見えます。