座標平面上の点 , , , を考える。実数 に対して，線分 , , を に内分する点をそれぞれ , , とし，線分 , を に内分する点をそれぞれ , とする。さらに，線分 を に内分する点を とする。また，点 を ，点 を とする。
(1) 点 の座標を求めよ。
(2) が の範囲を動くときに点 が描く曲線と，線分 で囲まれた部分の面積を求めよ。
(3) を を満たす実数とする。 が の範囲を動くときに点 が描く曲線の長さを， の多項式の形で求めよ。
, , , は正方形の 4 つの頂点です。同じ比 で内分する操作を、3 段くり返します。
1 段目は 3 本の辺から , , の 3 点。2 段目はそれを結んだ 2 本の線分から , の 2 点。3 段目はその 1 本から の 1 点です。段ごとに点が 1 つずつ減っていきます。
図の を動かしてみてください。最後に残った が、滑らかな曲線を描きます。
では 3 段とも一方の端に寄って 、 では反対の端に寄って になります。問題文が , をそう定めているのは、この続きだからです。
内分点の座標は、端の座標を で混ぜたものです。1 段目は、、、 となります。
2 段目は、その 3 点を同じ比で内分します。、 です。
3 段目で が出ます。これが (1) の答えです。
を入れると 、 を入れると です。問題文の定めた 、 と、そのままつながります。
は で 以上です。 も 以上ですから、点は左から右へ、 軸より上を進みます。
囲まれた部分の面積は です。中身は となり、 と が同じ形でそろいます。
展開して です。
よって面積は となります。
曲線の長さは です。ふつうはこの根号が外れず、多項式にはなりません。中身を見ます。
、 ですから、根号の中は です。
と置くと ですから、中括弧の中は になります。平方でした。
では なので です。根号を外すと となります。
あとは積分するだけです。 となります。
計算すると です。問題文の言う「 の多項式の形」で出ました。
を入れると です。曲線の全長は、正方形の 1 辺のちょうど 2 倍ということになります。
長さが多項式で書けたのは、速さの根号がきれいに外れたからです。同じ比で 3 段たどるという作り方が、そこまで効いています。