平面上の三角形 を考える。 は鋭角，, とする。また，点 から直線 に下ろした垂線と直線 の交点を とし， とする。線分 を に内分する点を , 点 から直線 に下ろした垂線と直線 との交点を とする。
(1) 内積 を を用いて表せ。
(2) 線分 の長さを を用いて表せ。
(3) 線分 の中点を とする。点 が線分 上にあるとき， のとりうる値の範囲を求めよ。
は から直線 へ下ろした垂線の足ですから、 は を の向きへ映した長さです。 で、これが ですから です。
これは正で、 が鋭角だという条件とも合います。大事なのは、この角が に関係なく決まってしまうことです。動くのは の遠さだけで、三角形の開き具合は変わりません。
内積は です。
と見ても同じです。映した長さと相手の長さを掛けたものが内積、という定義そのものになっています。
は を に内分する点ですから です。内分の比が なので、遠いほうの に重みが つきます。
は直線 の上にあるので とおけます。条件は 、つまり です。
展開すると です。(1) の と 、 を入れて となります。
ですから、 です。 は正なので は と同じ側にあります。
と書き直すと、動きが読めます。 が大きくなるほど は小さくなり、 に近づきます。
を に近づけると は に近づきます。 が原点のそばにあるとき、 はずっと遠くにいるということです。
いっぽう は の中点なので 、 までは です。こちらは とともに大きくなります。
が線分 の上にあるとは、 ということです。減っていく と、増えていく 本にはさまれる を探します。
右の側は です。 なので払って 、つまり となります。
の解は で、正のほうは です。 では が答えになります。
左の側は です。 を掛けて 、つまり となります。解は で、正のほうまでが範囲です。
合わせて です。およそ で、 が と同じくらいの長さのときだけ、 が後ろ半分に収まります。