座標平面上を次の規則 (i), (ii) に従って 秒ごとに動く点 を考える。
(i) 最初に， は点 にいる。
(ii) ある時刻で が点 にいるとき，その 秒後には は
確率 で 軸に関して と対称な点
確率 で 軸に関して と対称な点
確率 で直線 に関して と対称な点
確率 で直線 に関して と対称な点
にいる。
以下の問いに答えよ。ただし，(1) については，結論のみを書けばよい。
(1) がとりうる点の座標をすべて求めよ。
(2) を正の整数とする。最初から 秒後に が点 にいる確率と，最初から 秒後に が点 にいる確率は等しいことを示せ。
(3) を正の整数とする。最初から 秒後に が点 にいる確率を求めよ。
4 つの移り方はどれも、 と という 2 つの数の符号を変えるか、入れかえるかです。だから座標に出てくる数は と のままです。
から出て行ける点は と の 8 つ。図のように、原点のまわりに 8 方向へ並びます。これが (1) の答えです。
8 つより増えないことは、4 つの移り方がこの 8 点の集合を自分自身へ移すことから分かります。
8 つより減らないことは、実際にたどれば分かります。 軸で 、 軸で 、 で 、 で と、1 手で 4 つに届きます。
軸の対称と 軸の対称を続けて行うと、点は原点について反対側へ移ります。この「原点対称」を と書きます。
ここが要です。 軸の対称は「 軸の対称のあとに 」、 の対称は「 の対称のあとに 」です。しかも はどの対称とも順番を入れかえられます。
そして確率が組で等しくなっています。 軸と 軸はどちらも 、2 本の直線はどちらも です。
そこで、 手の並びのうち 1 手目だけを相方に取りかえます。確率は変わらず、行き先だけが で移ります。これで に着く並びと に着く並びが 1 対 1 に対応し、(2) が示せました。
(2) より、原点について反対どうしの 2 点はいつも同じ確率です。そこで 8 点を 4 つの組にまとめます。
、、、 です。
移り方を組で見ると、 からは確率 で 、 で 。 からは で 、 で 。 からは で 、 で 。 からは で 、 で です。
, と , が 1 手ごとに入れかわります。出発が なので、 が奇数のときは にいる確率は 、つまり求める確率も です。
が偶数のときを考えます。そのとき点は か にいるので、 にいる確率を とすると は です。
2 手ぶんをまとめます。 から 2 手で へ戻るのは 、 から 2 手で へ来るのは です。
よって 。 が 2 手ごとに 倍になる形です。
から 。組の中の 2 点は同じ確率ですから、求める確率はその半分で、 が偶数のとき 、 が奇数のとき です。