角の条件を内積で書く

は平面の点なのでと書けます。とおくと、これがの長さです。

角は内積で測ります。からへのベクトルは成分、長さです。からへのベクトルはですから、内積はになります。

(ii) はということです。はからで減るので、角の大小と不等号の向きが入れかわります。

整理するとです。左辺が以上でなければならないのでで、両辺を 2 乗して、つまりとなります。

(iii) は楕円の内側

こんどは点を頂点とする角です。からへのベクトルは、からへのベクトルはで、内積はです。

の長さをと書くと、(iii) はということです。

(ii) からなので左辺の分子は正です。2 乗してを整理すると、となります。

平方完成して、つまりです。中心、横の半径、縦の半径の楕円の内側でした。

答えはとの共通部分です。境界がどこで交わるかを見ます。

を楕円の式へ入れると、つまり。ですからかです。

の側で使えるのは、つまり点です。左右対称なので側では点になります。

つまり原点から出た 2 本の境界線は、ちょうどで楕円に出会います。答えの形は、この 2 点と楕円の上側の弧で囲まれた木の葉のような領域です。

最後に (i) です。が原点だとそのものが決まらないので、(i) はそれを断っています。

原点はも楕円の内側も満たしてしまうので、ここだけを抜きます。図では白い点で示しました。

まとめると、答えはかつを満たす点の集合から、原点を除いたものです。境界は含みます。

2 本の直線が角を作り、その角を楕円が切り取っている、と読むと形が覚えやすいと思います。