5 点 \mathrm{A}，\mathrm{B}，\mathrm{C}，\mathrm{D}，\mathrm{E} が右図のように線分でむすばれている。
点 \mathrm{P}_1，\mathrm{P}_2，\mathrm{P}_3，\cdots を次のように定めていく。\mathrm{P}_1 を \mathrm{A} とする。正の整数 n に対して，\mathrm{P}_n を端点とする線分をひとつ無作為にえらび，その線分の \mathrm{P}_n とは異なる端点を \mathrm{P}_{n+1} とする。
(1) \mathrm{P}_n が \mathrm{A} または \mathrm{B} である確率 p_n を求めよ。
(2) \mathrm{P}_n が \mathrm{A} または \mathrm{B} であるとき，k = 1,\ 2,\ \cdots,\ n のいずれに対しても \mathrm{P}_k = \mathrm{E} とはならない条件付き確率 q_n を求めよ。
線分は \mathrm{AB}、\mathrm{BC}、\mathrm{BD}、\mathrm{CE}、\mathrm{DE} の 5 本です。\mathrm{A} から出る線分は 1 本、\mathrm{B} からは 3 本、\mathrm{C}、\mathrm{D}、\mathrm{E} からは 2 本ずつで、その中から等しい確率で 1 本を選ぶ。
どの線分も、\mathrm{A}、\mathrm{C}、\mathrm{D} のどれかと、\mathrm{B}、\mathrm{E} のどちらかを結んでいます。\mathrm{P}_1 = \mathrm{A} から始まるので、n が奇数なら \mathrm{P}_n は \mathrm{A}、\mathrm{C}、\mathrm{D} のどれか、偶数なら \mathrm{B}、\mathrm{E} のどちらかになる。
p_n は、n が奇数なら \mathrm{P}_n = \mathrm{A} となる確率、偶数なら \mathrm{P}_n = \mathrm{B} となる確率です。
n が奇数のとき、\mathrm{P}_n = \mathrm{A} となる確率を a_n とおきます。\mathrm{B} へは \mathrm{A} から確率 1、\mathrm{C} と \mathrm{D} から確率 \dfrac{1}{2} で進むため、\mathrm{P}_{n+1} = \mathrm{B} となる確率は a_n+\dfrac{1-a_n}{2} = \dfrac{1+a_n}{2} です。
\mathrm{A} へは \mathrm{B} から確率 \dfrac{1}{3} でしか来られず、a_{n+2} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1+a_n}{2} = \dfrac{1+a_n}{6} となる。a_{n+2}-\dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{6}\left(a_n-\dfrac{1}{5}\right) と a_1 = 1 から、a_n = \dfrac{1}{5}+\dfrac{4}{5}\left(\dfrac{1}{6}\right)^{\frac{n-1}{2}} です。
n が奇数なら p_n = \dfrac{1}{5}+\dfrac{4}{5}\left(\dfrac{1}{6}\right)^{\frac{n-1}{2}} で、偶数なら p_n = \dfrac{1+a_{n-1}}{2} = \dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{5}\left(\dfrac{1}{6}\right)^{\frac{n-2}{2}} になる。
n が偶数のとき、\mathrm{E} を一度も通らずに \mathrm{P}_n = \mathrm{B} となる確率を b_n とおきます。\mathrm{B} から 2 回で \mathrm{E} を通らずに \mathrm{B} へ戻るのは、\mathrm{A} を回る \dfrac{1}{3} \cdot 1 と、\mathrm{C} か \mathrm{D} を回る \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{2} で、合わせて \dfrac{2}{3} です。
b_2 = 1 から b_n = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{\frac{n-2}{2}} となる。n が 3 以上の奇数なら、\mathrm{E} を通らずに \mathrm{P}_n = \mathrm{A} となる確率は、b_{n-1} に \dfrac{1}{3} をかけた \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{\frac{n-3}{2}} です。
q_n は、\mathrm{E} を通らずに \mathrm{P}_n が \mathrm{A} か \mathrm{B} になる確率を、p_n で割ったものです。n = 1 では q_1 = 1 になる。
n が偶数なら、q_n = \dfrac{\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{n-2}{2}}}{\frac{3}{5}+\frac{2}{5}\left(\frac{1}{6}\right)^{\frac{n-2}{2}}} の分母と分子に 5 \cdot 6^{\frac{n-2}{2}} をかけて、q_n = \dfrac{5 \cdot 2^{n-2}}{3 \cdot 6^{\frac{n-2}{2}}+2} です。
n が 3 以上の奇数なら、q_n = \dfrac{\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{n-3}{2}}}{\frac{1}{5}+\frac{4}{5}\left(\frac{1}{6}\right)^{\frac{n-1}{2}}} の分母と分子に 5 \cdot 6^{\frac{n-1}{2}} をかけて、q_n = \dfrac{5 \cdot 2^{n-2}}{6^{\frac{n-1}{2}}+4} となる。
\mathrm{E} に来るのは早くても \mathrm{P}_4 で、そこから \mathrm{A} か \mathrm{B} に戻るには 2 回かかるため、n \leqq 5 では q_n = 1 です。n = 6 では q_6 = \dfrac{80}{110} = \dfrac{8}{11} となる。