等式 が成り立つ実数 がちょうど つ存在するような実数 の範囲を求めよ。
では で、 です。 では で、 になる。
では で符号が変わり、、 です。足して 倍すると となる。
等式は と書けます。右辺を とおくと、条件は のグラフと直線 がちょうど 点で交わることになる。
は、 で 、 で 、 で です。
の部分は で最大の をとり、 で になる。 の部分は で 、 で最大の をとり、その先は減っていきます。
では とおくと で、 で微分すると です。 で減り、 で増えるので、 で極小値 をとる。
まとめると は、 まで増えて 、 まで減って 、 まで増えて となり、そのあとは減っていく。
なら、増える区間と減る区間の つそれぞれで、直線 とちょうど 回ずつ交わります。
や では、極値をとる点で つの交点が つにまとまり、 つになる。 と では つ、 では つで、 では交わらない。
求める の範囲は です。