等式 6\displaystyle\int_0^2 |x^2-a|\,dx = a^2-2a+k が成り立つ実数 a がちょうど 4 つ存在するような実数 k の範囲を求めよ。
a \leqq 0 では |x^2-a| = x^2-a で、6\displaystyle\int_0^2 (x^2-a)\,dx = 6\left(\dfrac{8}{3}-2a\right) = 16-12a です。a \geqq 4 では |x^2-a| = a-x^2 で、12a-16 になる。
0 < a < 4 では x = \sqrt{a} で符号が変わり、\displaystyle\int_0^{\sqrt{a}}(a-x^2)\,dx = \dfrac{2}{3}a\sqrt{a}、\displaystyle\int_{\sqrt{a}}^2(x^2-a)\,dx = \dfrac{8}{3}-2a+\dfrac{2}{3}a\sqrt{a} です。足して 6 倍すると 8a\sqrt{a}-12a+16 となる。
等式は k = 6\displaystyle\int_0^2 |x^2-a|\,dx-a^2+2a と書けます。右辺を G(a) とおくと、条件は y = G(a) のグラフと直線 y = k がちょうど 4 点で交わることになる。
G(a) は、a \leqq 0 で -(a+5)^2+41、a \geqq 4 で -(a-7)^2+33、0 \leqq a \leqq 4 で -a^2+8a\sqrt{a}-10a+16 です。
a \leqq 0 の部分は a = -5 で最大の 41 をとり、a = 0 で 16 になる。a \geqq 4 の部分は a = 4 で 24、a = 7 で最大の 33 をとり、その先は減っていきます。
0 \leqq a \leqq 4 では s = \sqrt{a} とおくと G = -s^4+8s^3-10s^2+16 で、s で微分すると -4s^3+24s^2-20s = -4s(s-1)(s-5) です。0 < s < 1 で減り、1 < s < 2 で増えるので、a = 1 で極小値 13 をとる。
まとめると G(a) は、a = -5 まで増えて 41、a = 1 まで減って 13、a = 7 まで増えて 33 となり、そのあとは減っていく。
13 < k < 33 なら、増える区間と減る区間の 4 つそれぞれで、直線 y = k とちょうど 1 回ずつ交わります。
k = 13 や k = 33 では、極値をとる点で 2 つの交点が 1 つにまとまり、3 つになる。k < 13 と 33 < k < 41 では 2 つ、k = 41 では 1 つで、k > 41 では交わらない。
求める k の範囲は 13 < k < 33 です。